Determine (sem resolver o PVI) um intervalo no qual a solução existe.
y^{\prime}+(\tan t) y=\sin t, \quad y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, sem resolver o PVI, um intervalo no qual a solução existe para
y'+(\tan t)\,y=\sin t,\qquad y(\pi)=0.
Informações dadas:
  • Equação linear de primeira ordem na forma \;y'+p(t)y=g(t)\; com p(t)=\tan t e g(t)=\sin t.
  • Condição inicial em t_0=\pi: y(\pi)=0.
    O objetivo é achar um intervalo aberto contendo t_0=\pi onde exista (e seja única) a solução.

Passo 2

Teorema de existência e unicidade (caso linear de 1ª ordem), explicado de forma simples:
Se p e g são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém t_0, então o problema
y'+p(t)y=g(t),\qquad y(t_0)=y_0
tem uma única solução definida em todo o intervalo I.
Intuição: continuação dos coeficientes sem “explodir” garante que a equação pode ser integrada passo a passo sem problemas; se algum coeficiente tem singularidade, a solução pode deixar de existir ao atingir essa singularidade.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: identificar onde p e g são contínuas.
  • g(t)=\sin t é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • p(t)=\tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} é contínua quando \cos t\neq0. As singularidades de \tan t ocorrem quando
\cos t=0\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora localizo as singularidades mais próximas de t_0=\pi: são
t=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad t=\frac{3\pi}{2}=\pi+\frac{\pi}{2}.
Entre essas duas singularidades (exclusas) a função \tan t é contínua. Assim o maior intervalo aberto que contém t=\pi e onde tanto p(t)=\tan t quanto g(t)=\sin t são contínuas é
\left(\frac{\pi}{2},\; \frac{3\pi}{2}\right).

Passo 5

Conclusão prática e dica para a prova: por causa do teorema, existe uma única solução do PVI definida em todo o intervalo \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right). Qualquer subintervalo aberto que contenha \pi também serve, mas o intervalo máximo (em que não há singularidades de \tan) é o indicado. Não se deve incluir os endpoints porque aí \tan t não é definida.

Resposta

\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)

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