Determine (sem resolver o PVI) um intervalo no qual a solução existe.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, sem resolver o PVI, um intervalo no qual a solução existe para
Informações dadas:
- Equação linear de primeira ordem na forma
com e . - Condição inicial em
: .
O objetivo é achar um intervalo aberto contendoonde exista (e seja única) a solução.
Passo 2
Teorema de existência e unicidade (caso linear de 1ª ordem), explicado de forma simples:
Se e
são funções contínuas em um intervalo aberto
que contém
, então o problema
Se
tem uma única solução definida em todo o intervalo
.
Intuição: continuação dos coeficientes sem “explodir” garante que a equação pode ser integrada passo a passo sem problemas; se algum coeficiente tem singularidade, a solução pode deixar de existir ao atingir essa singularidade.
Intuição: continuação dos coeficientes sem “explodir” garante que a equação pode ser integrada passo a passo sem problemas; se algum coeficiente tem singularidade, a solução pode deixar de existir ao atingir essa singularidade.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: identificar onde
e
são contínuas.
-
é contínua para todo . -
é contínua quando . As singularidades de ocorrem quando
Passo 4
Agora localizo as singularidades mais próximas de
: são
Entre essas duas singularidades (exclusas) a função
é contínua. Assim o maior intervalo aberto que contém
e onde tanto
quanto
são contínuas é
Passo 5
Conclusão prática e dica para a prova: por causa do teorema, existe uma única solução do PVI definida em todo o intervalo
. Qualquer subintervalo aberto que contenha
também serve, mas o intervalo máximo (em que não há singularidades de
) é o indicado. Não se deve incluir os endpoints porque aí
não é definida.