Resolva os PVI’s abaixo;
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-y=2 t e^{2 t} \y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y'(t)-y(t)=2t e^{2t},\\[4pt] y(0)=1. \end{array}\right.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial ordinária de primeira ordem e a condição inicial dada. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial linear de primeira ordem na forma y'-y=2t e^{2t}.
  • A condição inicial y(0)=1.]

Passo 2

Padrão e estratégia: reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
y'(t)+p(t)\,y(t)=g(t).
Comparando com a equação dada, obtemos
p(t) = -1,\qquad g(t)=2t e^{2t}.
Para resolver esse tipo de equação usamos o fator integrante \mu(t), que é definido por
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
A ideia por trás do fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação numa derivada exata do produto \mu(t)y(t), ou seja,
\big(\mu(t)y(t)\big)'=\mu(t)\,y'(t)+\mu'(t)\,y(t)=\mu(t)\big(y'(t)+p(t)y(t)\big).
Isso simplifica a integração.

Passo 3

Calcular o fator integrante usando p(t)=-1:
\mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicamos toda a equação original por \mu(t)=e^{-t}:
e^{-t}y'(t)-e^{-t}y(t)=2t e^{2t}e^{-t}.
O lado direito simplifica para
2t e^{2t}e^{-t}=2t e^{t}.

Passo 4

Reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto \big(e^{-t}y(t)\big)'. De fato, pelo produto e pela definição de \mu,
\big(e^{-t}y(t)\big)'=e^{-t}y'(t)+\big(e^{-t}\big)'y(t)=e^{-t}y'(t)-e^{-t}y(t).
Portanto a equação multiplicada fica
\big(e^{-t}y(t)\big)'=2t e^{t}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em t:
e^{-t}y(t)=\int 2t e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular a integral \int 2t e^{t}\,dt. Fazemos por partes ou reconhecendo que é 2\int t e^{t}\,dt. Calculemos \int t e^{t}\,dt por partes: escolha u=t, dv=e^{t}dt. Então du=dt e v=e^{t}. Pela fórmula de integração por partes,
\int t e^{t}\,dt = t e^{t}-\int e^{t}\,dt = t e^{t}-e^{t}+C_1=(t-1)e^{t}+C_1.
Multiplicando por 2,
\int 2t e^{t}\,dt = 2(t-1)e^{t}+C.
Assim
e^{-t}y(t)=2(t-1)e^{t}+C.

Passo 6

Isolamos y(t) multiplicando por e^{t}:
y(t)=2(t-1)e^{2t}+C e^{t}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0:
y(0)=2(0-1)e^{0}+C e^{0}=-2 + C = 1.
Logo C=3.

Passo 7

Substituindo C=3 na expressão geral obtemos a solução particular do PVI:
y(t)=2(t-1)e^{2t}+3e^{t}.

Resposta

y(t)=2(t-1)e^{2t}+3e^{t}

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