Resolva os PVI’s abaixo;
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial ordinária de primeira ordem e a condição inicial dada. As informações relevantes são:
- A equação diferencial linear de primeira ordem na forma
. - A condição inicial
.]
Passo 2
Padrão e estratégia: reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Comparando com a equação dada, obtemos
Para resolver esse tipo de equação usamos o fator integrante
, que é definido por
A ideia por trás do fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação numa derivada exata do produto
, ou seja,
Isso simplifica a integração.
Passo 3
Calcular o fator integrante usando
:
Multiplicamos toda a equação original por
:
O lado direito simplifica para
Passo 4
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto
. De fato, pelo produto e pela definição de
,
Portanto a equação multiplicada fica
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Vamos calcular a integral
. Fazemos por partes ou reconhecendo que é
. Calculemos
por partes: escolha
,
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes,
Multiplicando por
,
Assim
Passo 6
Isolamos
multiplicando por
:
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
.
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular do PVI: