Determine a resposta em frequência H(j omega)=Y(j omega) / X(j omega) associada a equação diferencial
doty(t)+a y(t)=x(t)
sendo a uma constante. Dica: use a propriedade dotz(t) stackrelF Tlong<=ftrightarrow j omega Z(j omega).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a resposta em frequência
H(jomega)=Y(jomega)X(jomega)
de um sistema descrito pela equação diferencial
dot y(t)+a,y(t)=x(t),,
onde a é uma constante.
Conteúdo envolvido: sistemas LTI e Transformada de Fourier.
O que vamos usar:
  • A propriedade da derivada na FT, isto é Fdot z(t)=jomega,Z(jomega),
    - Álgebra simples pra isolar Y(jomega)/X(jomega).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Fourier em cada termo da equação:
  • Em dot y(t) vira jomega,Y(jomega).
  • Em a,y(t) como a é constante, vira a,Y(jomega).
  • Em x(t) vira X(jomega).
    Logo, a equação no domínio da frequência fica:
jomega,Y(jomega) ;+; a,Y(jomega) ;=; X(jomega),

Passo 3

Agora a gente fatora Y(jomega) do lado esquerdo:
(jomega + a),Y(jomega) = X(jomega),
Pra encontrar a resposta em frequência H(jomega)=Y(jomega)/X(jomega), basta dividir tudo por (jomega+a) e por X(jomega):
H(jomega)=Y(jomega)X(jomega) = 1jomega + a,

Resposta

boxedH(jomega)=1a + jomega,

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