Determine o valor das integrais
a) integral-infty^+infty sinc(t) d t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral imprópria
Isso é parte de Análise (integrais impróprias) e a gente vai precisar:
  • Saber que (com valor limite 1 em integral-infty^+inftysinc(t),dt ).
  • Usar o fato de que é função par.
  • Conhecer (ou derivar) o valor da integral de Dirichlet .

Passo 2

Primeiro, definindo bem a função:
Repara que sinc(t)=sin tt,sinc(0)=1 e sinc(-t)=sin(-t)-t=-sin t-t=sin tt=sinc(t) no denominador também dá integral-infty^+inftysinc(t),dt =2integral0^inftysinc(t),dt =2integral0^inftysin tt,dt , então
Ou seja, é par, então

Passo 3

Agora o pulo do gato: avaliar
I=integral0^inftysin tt,dt
A gente usa um artifício de dependência num parâmetro J(a)=integral0^inftye^-a t,sin tt,dt :
J'(a) =ddaintegral0^inftye^-atsin ttdt =integral0^inftypartialpartial al(e^-atsin ttr)dt =-integral0^inftye^-atsin t,dt
  1. Diferencia em J'(a)=-11+a^2 :
J(a)=-arctan(a)+C
  1. A integral 0=J(infty)=-pi2+C Longrightarrow C=pi2 é J(a)=pi2-arctan(a) . Logo
I=J(0)=pi2-arctan(0)=pi2
  1. Integra em :
  1. Quando , o fator zera tudo e . Mas , logo
Então
  1. Basta agora pôr :

Passo 4

Voltando à integral inteira:

Resposta

Exercícios relacionados