Determine o valor das integrais
a)
a)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral imprópria
Isso é parte de Análise (integrais impróprias) e a gente vai precisar:
- Saber que (com valor limite 1 em
). - Usar o fato de que é função par.
- Conhecer (ou derivar) o valor da integral de Dirichlet
.
Passo 2
Primeiro, definindo bem a função:
Repara que
e
no denominador também dá
, então
Ou seja, é par, então
Passo 3
Agora o pulo do gato: avaliar
A gente usa um artifício de dependência num parâmetro
:
- Diferencia em
:
- A integral
é . Logo
- Integra em
:
- Quando
, o fator zera tudo e . Mas , logo
Então
- Basta agora pôr
:
Passo 4
Voltando à integral inteira: