Determine a transformada de Fourier X(e^j omega) dos sinais em tempo discreto
f) x[n]=cos (2 pi5 n)

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a transformada de Fourier discreta (DTFT) de
x[n] = cos!l(tfrac2pi5nr)
O conteúdo aqui é “Transformada de Fourier em tempo discreto”. Para resolver, vamos precisar de:
  1. A fórmula de Euler que expressa cosseno como soma de exponenciais complexas.
  2. A propriedade que diz qual é a DTFT de .

Passo 2

Primeiro, escreve o cosseno em termos de exponenciais (fórmula de Euler):
cos!l(omega0 nr) = tfrac12l(e^jomega0 n + e^-jomega0 nr)
No nosso caso, x[n] = tfrac12 l(e^j2pi5n + e^-j2pi5nr) , logo
Isso é legal porque a DTFT de cada exponencial a gente já conhece.

Passo 3

Lembra que a DTFT de Fe^jomega0 n = 2pi sumk=-infty^infty de é
Fe^-jomega0 n = 2pi sumk=-infty^infty de
ou seja, pulsações infinitas de amplitude em .
Do mesmo jeito, para fica

Passo 4

Como X(e^jomega) = tfrac12 ,2pi sumk de é metade da soma dessas duas exponenciais, pela linearidade da transformada a gente junta:
X(e^jomega) = pi sumk=-infty^infty l[de
Isso simplifica para

Resposta

boxed Xl(e^jomegar) = pi sumk=-infty^infty l[de

Exercícios relacionados