Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada por
H(j omega)=G3(omega)
a) Determine a saída y(t) do sistema para a entrada
x(t)=sumk=-infty^+infty q(t-k 2 pi) , q(t)=100 pi((t+1) G1(t+0.5)+(1-t) G1(t-0.5))

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede.
– Temos um sistema LTI cuja resposta em frequência é
H(jomega)=G3(omega)
– A entrada é
x(t)=sumk=-infty^+inftyql(t-k,2pir), q(t)=100pil[(t+1),G1(t+0.5)+(1-t),G1(t-0.5)r]
Ou seja, é uma repetição periódica (período ) de um pulso triangular .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Convolução em tempo vira multiplicação em frequência;
  2. Série de Fourier / transformada de sinais periódicos;
  3. Transformada de (pulso triangular);
  4. Inversa de Fourier com impulsos (para achar ).

Passo 2

Primeiro, identificamos que Y(jomega)=H(jomega),X(jomega) é periódico de período X(jomega);=;sumn=-infty^inftyCn,2pi,de. Num sistema LTI vale
Cn=1T,integral0^Tq(t),e^-j nomega0t,dt Longrightarrow Cn=12pi,Q(jn),
Mas para sinal periódico a transformada é
E os coeficientes vêm de
onde é a transformada da forma livre .

Passo 3

A gente sabe que q(t)= 100pi,(1-|t|),&|t|<=1, 0,&caso contrário é um triângulo de base Q(jomega) =100pi;l(sin(omega/2)omega/2r)^2 e altura X(jomega) =Q(jomega),sumk=-infty^inftye^-jkTomega =Q(jomega),2piTsumnde, estatisticamente
á
A transformada desse triângulo é
Agora, como , a transformada fica
pois e .

Passo 4

Multiplicando pela resposta em frequência do sistema:
Y(jomega) =H(jomega),X(jomega) =sumnG3(n),Q(jn),de
Para voltar ao tempo, usamos a inversa
y(t) =12piintegral Y(jomega),e^jomega t,domega =12pisumnG3(n),Q(jn),e^j,n,t

Resposta

boxed y(t) =12pi;sumn=-infty^infty G3(n);Q(jn);e^j,n,t, com Q(jn)=100pil(tfracsin(n/2)n/2r)^2

Exercícios relacionados