Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada por
a) Determine a saída
do sistema para a entrada
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede.
– Temos um sistema LTI cuja resposta em frequência é
– Temos um sistema LTI cuja resposta em frequência é
– A entrada é
Ou seja,
é uma repetição periódica (período
) de um pulso triangular
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Convolução em tempo vira multiplicação em frequência;
- Série de Fourier / transformada de sinais periódicos;
- Transformada de
(pulso triangular); - Inversa de Fourier com impulsos (para achar
).
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é periódico de período
. Num sistema LTI vale
Mas para sinal periódico a transformada é
E os coeficientes
vêm de
onde
é a transformada da forma livre
.
Passo 3
A gente sabe que
é um triângulo de base
e altura
, estatisticamente
A transformada desse triângulo é
Agora, como
, a transformada fica
pois
e
.
Passo 4
Multiplicando pela resposta em frequência do sistema:
Para voltar ao tempo, usamos a inversa