Determine a resposta h[n] ao impulso para os sistemas especificados pelas seguintes equações:
\left(E^{2}-6 E+9\right) y[n]=E x[n]

Passo 1

O enunciado pede a resposta ao impulso h[n] de um sistema LTI definido pelo operador de avanço E pela equação
\bigl(E^{2}-6E+9\bigr)y[n]=E\,x[n].
Para resolver, vamos:
  1. Converter em equação de diferenças em y[n] e x[n].
  2. Substituir x[n]=\delta[n] (impulso) e assumir condições iniciais de repouso y[n]=0 para n<0.
  3. Determinar valores iniciais h[0] e h[1].
  4. Resolver a parte homogênea da recorrência para n\ge0.
  5. Ajustar constantes pela condição inicial e escrever h[n].

Passo 2

Aplicando E\,y[n]=y[n+1], a equação vira
y[n+2]-6\,y[n+1]+9\,y[n]=x[n+1].
Para impulso, x[n]=\delta[n] implica x[n+1]=\delta[n+1]. E como o sistema está em repouso antes de n=0, temos y[n]=0 para n<0.

Passo 3

Para obter h[0] e h[1], escolhemos n de forma que o delta sobreviva.
  1. Em n=-2:
y[0]-6\,y[-1]+9\,y[-2]=\delta[-1]=0
como y[-1]=y[-2]=0, segue y[0]=0. Logo
h[0]=0.
  1. Em n=-1:
y[1]-6\,y[0]+9\,y[-1]=\delta[0]=1
como y[0]=0 e y[-1]=0, segue y[1]=1. Logo
h[1]=1.

Passo 4

Para n\ge0 a parte não homogênea some \delta[n+1]=0 para n\ge0 e ficamos com
y[n+2]-6\,y[n+1]+9\,y[n]=0.
A equação característica é
r^{2}-6r+9=0
com raiz dupla r=3. Logo a solução geral é
y_h[n]=(C_{1}+C_{2}\,n)\,3^{n}.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
\begin{cases} h[0]=(C_{1}+C_{2}\cdot0)\,3^{0}=C_{1}=0,\\\ h[1]=(C_{1}+C_{2}\cdot1)\,3^{1}=C_{2}\,3=1\;\Rightarrow\;C_{2}=\tfrac13. \end{cases}
Portanto, para n\ge0,
h[n]=\Bigl(0+\tfrac13\,n\Bigr)\,3^{n}=\tfrac{n}{3}\,3^{n}=n\,3^{\,n-1}.

Resposta

h[n]=n\,3^{\,n-1}\,\mathrm{u}[n],
onde \mathrm{u}[n] é a função degrau unitário.

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