Determine a resposta h[n] ao impulso para os sistemas especificados pelas seguintes equações:
y[n+1]+2 y[n]=x[n]

Passo 1

O enunciado dá o sistema LTI causal descrito pela equação a diferenças
y[n+1] + 2\,y[n] = x[n]
e pede a resposta ao impulso h[n], ou seja, y[n] quando x[n]=\delta[n]. Para resolver, precisamos:
  1. Assumir condições iniciais nulas (causalidade).
  2. Aplicar a equação a diferenças com x[n]=\delta[n].
  3. Determinar h[n] para n\ge0 e mostrar que h[n]=0 para n<0.

Passo 2

Impondo causalidade, temos
h[n]=0\quad\text{para }n<0.
Para encontrar h[0], aplicamos a equação em n=-1:
h[0] + 2\,h[-1] = \delta[-1] = 0
Como h[-1]=0, segue
h[0] = 0.

Passo 3

Agora aplicamos a equação em n=0:
h[1] + 2\,h[0] = \delta[0] = 1.
Como h[0]=0, obtemos
h[1] = 1.

Passo 4

Para n\ge1, o termo \delta[n]=0 e a equação homogênea fica
h[n+1] + 2\,h[n] = 0 \quad\Longrightarrow\quad h[n+1] = -2\,h[n].
Isso gera a sequência geométrica para n\ge1:
h[2] = -2\,h[1] = -2,\quad h[3] = -2\,h[2] = 4,\;\dots

Passo 5

Reconhecendo a forma geral, para n\ge1
h[n] = (-2)^{\,n-1},
e combinando com h[0]=0 e h[n]=0 para n<0, podemos escrever em termos de passo unitário:
h[n] = (-2)^{\,n-1}\,u[n-1].

Resposta

h[n] = \begin{cases} (-2)^{\,n-1}, & n\ge1,\\\\ 0, & n<1, \end{cases}
ou de forma compacta
h[n] = (-2)^{\,n-1}\,u[n-1].

Exercícios relacionados