Determine a resposta impulsiva do sistema e discuta se o sistema tem oscilação ou não e, em quanto tempo o sistema converge para zero. Como o sistema é assintótico considere o fato do sistema alcançar valores inferiores a 0.02 :
G(s)=1s^2+4 s+40

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é:
  • Encontrar a resposta ao impulso G(s)=1s^2+4s+40 do sistema cuja função de transferência é L^-1gl1(s+a)^2+omega^2gr =e^-a t,sin(omega t)omega
  • Dizer se o sistema tem oscilação e explicar por quê.
  • Calcular em que tempo a resposta decai abaixo de 0,02 (considerando que ele é assintótico).
Conteúdo: sistemas LTI de segunda ordem, transformação inversa de Laplace, amortecimento, frequência natural e frequência amortecida. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar a fórmula

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação característica no denominador:
s^2+4s+40
A gente completa o quadrado:
s^2+4s+40=(s+2)^2+36,
porque G(s)=1(s+2)^2+6^2 , sobra . Então dá pra reescrever

Passo 3

Agora usamos a fórmula de inverso de Laplace:
L^-1!l1(s+a)^2+omega^2r =e^-a t,sin(omega t)omega
Aqui h(t)=L^-1G(s) =e^-2t,sin(6t)6 e . Logo

Passo 4

Oscilação? Como os polos são
s=-2pm j6,
tem parte imaginária não nula ( ), o sistema é subamortecido e oscila (mas com amplitude caindo por causa do ).

Passo 5

Queremos saber quando 16e^-2t fica abaixo de 0,02. A “envelope” das oscilações é
16e^-2t<= 0.02 Longrightarrow e^-2t<= 0.12 Longrightarrow -2t<= ln(0.12) Longrightarrow t>= -12ln(0.12)
Então impomos
-tfrac12ln(0.12)approx 1,06 s
Calculando:

Resposta

h(t)= .
O sistema é subamortecido, logo oscila com decaimento exponencial.
Ele atinge amplitude abaixo de 0,02 em aproximadamente segundos.

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