Obtenha a resposta impulsiva h(t) do sistema sabendo que H(S) é dado por:
H(S)=15 S+10(S+1)^2(S+3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a resposta impulsiva H(s)=15,s+10(s+1)^2(s+3) de um sistema cuja função de transferência é
Conteúdo: Transformada inversa de Laplace, em especial decomposição em frações parciais e uso das tabelas básicas (como e ). Vamos precisar então fazer a decomposição parcial e depois usar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, a gente escreve
15,s+10(s+1)^2(s+3) = As+3 ;+;Bs+1;+;C(s+1)^2
Isso se chama “frações parciais”: a ideia é representar a expressão original como soma de termos mais simples, cuja inversa de Laplace a gente já conhece.

Passo 3

Para achar 15,s+10 = A,(s+1)^2 + B,(s+1)(s+3) + C,(s+3) , 15s+10 = (A+B),s^2 ;+;(2A+4B+C),s ;+;(A+3B+3C) e A + B = 0, 2A +4B + C =15, A +3B +3C =10 , multiplica tudo pelo denominador -B +3B +3(15-2B)=10 ;Rightarrow;2B +45 -6B=10 ;Rightarrow;-4B=10-45=-35 ;Rightarrow;B=354 :
Agora a gente expande cada termo:
  1. .
  2. .
  3. .
Somando tudo:
Como o lado esquerdo não tem termo em , sua “coeficiente” é zero. Igualamos coeficientes:
Daí:
  • De vem .
  • Substituindo em :
    .
  • Substituindo e em :
  • Logo e

Passo 4

Agora que temos
H(s)= -354,1s+3 ;+;354,1s+1 ;-;52,1(s+1)^2,
aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  1. h(t) = -354,e^-3t +354,e^-t -52,t,e^-t, t>=0 .
  2. .
  3. .
Usando linearidade:

Resposta

boxed,h(t)= -354,e^-3t +354,e^-t -52,t,e^-t, t>=0,

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