Para que faixa de valores de a o sistema é estável?:
G(s)=1s^2+a s+1

Passo 1

Vamos resumir o problema e entender o que precisamos para resolvê-lo. Temos uma função de transferência do sistema:
G(s) = 1s^2 + a s + 1
Queremos descobrir para quais valores de $ a $ o sistema é estável. Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema analisando os coeficientes do polinômio característico no denominador.

Passo 2

Primeiro, identificamos o polinômio característico do sistema, que é o denominador da função de transferência:
s^2 + a s + 1
Esse polinômio é de segunda ordem, ou seja, o grau é 2.

Passo 3

Agora, aplicamos o Critério de Routh-Hurwitz para polinômios de segunda ordem. Para um polinômio da forma:
s^2 + b s + c
O sistema será estável se e somente se todos os coeficientes $ b $ e $ c $ forem positivos.

Passo 4

Comparando com o nosso polinômio $ s^{2} + a s + 1 $, temos:
  • $ b = a $
  • $ c = 1 $
Para o sistema ser estável:
  1. $ b > 0 $ ⇒ $ a > 0 $
  2. $ c > 0 $ ⇒ $ 1 > 0 $ (sempre verdadeiro)

Passo 5

Como a segunda condição $ c > 0 $ já é sempre satisfeita (pois 1 é positivo), a única condição necessária para a estabilidade do sistema é:
c > 0

Resposta

O sistema é estável para todos os valores de $ a $ tais que $ a > 0 $.

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