Para que faixa de valores de
o sistema é estável?:
Passo 1
Vamos resumir o problema e entender o que precisamos para resolvê-lo. Temos uma função de transferência do sistema:
Queremos descobrir para quais valores de $ a $ o sistema é estável. Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema analisando os coeficientes do polinômio característico no denominador.
Passo 2
Primeiro, identificamos o polinômio característico do sistema, que é o denominador da função de transferência:
Esse polinômio é de segunda ordem, ou seja, o grau é 2.
Passo 3
Agora, aplicamos o Critério de Routh-Hurwitz para polinômios de segunda ordem. Para um polinômio da forma:
O sistema será estável se e somente se todos os coeficientes $ b $ e $ c $ forem positivos.
Passo 4
Comparando com o nosso polinômio $ s^{2} + a s + 1 $, temos:
- $ b = a $
- $ c = 1 $
Para o sistema ser estável:
- $ b > 0 $ ⇒ $ a > 0 $
- $ c > 0 $ ⇒ $ 1 > 0 $ (sempre verdadeiro)
Passo 5
Como a segunda condição $ c > 0 $ já é sempre satisfeita (pois 1 é positivo), a única condição necessária para a estabilidade do sistema é:
Resposta
O sistema é estável para todos os valores de $ a $ tais que $ a > 0 $.