Utilizando a transformada de Laplace determine a função de y(t) que resolve a equação 6. Considerando as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=-3.
y^prime prime(t)-6 y^prime(t)+5 y(t)=0

Passo 1

Beleza, aqui a parada é resolver a EDO
y''(t)-6y'(t)+5y(t)=0
usando transformada de Laplace, com as condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=-3
O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a derivadas (propriedade linear e tabela de transformadas), além de frações parciais e a tabela inversa. Vamos precisar:
  • Saber que Ly'(t)=sY(s)-y(0), Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
    - Fazer a álgebra em s, decompor em frações parciais e usar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo da equação:
  1. Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-scdot1-(-3)=s^2Y(s)-s+3
  2. L-6y'=-6l(sY(s)-y(0)r)=-6sY(s)+6
  3. L5y=5Y(s)
    Somando tudo e igualando a zero:
(s^2Y(s)-s+3)+(-6sY(s)+6)+5Y(s)=0

Passo 3

Agora junta os termos em Y(s) e os constantes:
s^2Y(s)-6sY(s)+5Y(s);+;(-s+3+6)=0
Y(s)l(s^2-6s+5r);+;(-s+9)=0
Logo
Y(s)=s-9s^2-6s+5
Repara que s^2-6s+5=(s-1)(s-5).

Passo 4

Fazemos frações parciais:
s-9(s-1)(s-5)=As-1+Bs-5
Multiplica pelos denominadores:
s-9=A(s-5)+B(s-1)
Escolhe valores de s:
  • Para s=1: 1-9=-8=A(1-5)=-4Aimplies A=2
  • Para s=5: 5-9=-4=B(5-1)=4Bimplies B=-1
    Então
Y(s)=2s-1-1s-5

Passo 5

Agora aplica a transformada inversa usando
L^-1!l1s-ar=e^at
Então
y(t)=2e^1cdot t-1cdot e^5t=2e^t-e^5t

Resposta

boxedy(t)=2e^t-e^5t

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