Determine a resposta ao impulso h(t) dos sistemas:
(D^2+6 D+9) y(t)=(D^2-D+1) x(t)

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer achar a resposta ao impulso h(t) de um sistema LTI que obedece à equação diferencial
l(D^2 + 6D + 9r),y(t) ;=;l(D^2 - D + 1r),x(t)
Conteúdo: transformada de Laplace, resposta ao impulso H(s)=Y(s)/X(s), frações parciais e transformada inversa. Vamos precisar saber:
  1. Como aplicar Laplace em derivadas (D→s).
  2. Que H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} e h(t)=\mathcal L^{-1}{H(s)}.
  3. Como fazer frações parciais e usar pares simples de Laplace (1↔δ(t), 1/(s+a)↔e^{−at}, 1/(s+a)2↔t·e{−at}).

Passo 2

Aplico Laplace nos dois lados (assumindo condições iniciais nulas, pois a entrada é impulso):
(s^2+6s+9),Y(s) ;=;(s^2 - s + 1),X(s)
Logo
H(s)=Y(s)X(s) ;=;s^2 - s + 1s^2 + 6s + 9

Passo 3

Reparo que o denominador fatora como H(s)=s^2 - s + 1(s+3)^2 . Então
s^2 - s + 1(s+3)^2 =1 ;+;(s^2 - s + 1) - (s^2+6s+9)(s+3)^2 =1 ;+;-7s -8(s+3)^2
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, faço divisão polinomial:

Passo 4

Agora decomponho o resto em frações parciais:
-7s -8(s+3)^2 =As+3+B(s+3)^2
Multiplicando em cima:
-7s - 8 = A(s+3) + B = A s + 3A + B
Comparando coeficientes:
  • Para s: H(s) = 1 ;-;7s+3 ;+;13(s+3)^2 .
  • Constante: .
    Logo

Passo 5

Agora uso transformadas inversas (para t≥0, com u(t) implícito):
  • h(t) ;=;de=0 .
  • .
  • .
Somando tudo:

Resposta

boxedh(t) = de=0

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