Determine a resposta ao impulso
dos sistemas:
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer achar a resposta ao impulso h(t) de um sistema LTI que obedece à equação diferencial
Conteúdo: transformada de Laplace, resposta ao impulso H(s)=Y(s)/X(s), frações parciais e transformada inversa. Vamos precisar saber:
- Como aplicar Laplace em derivadas (D→s).
- Que H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} e h(t)=\mathcal L^{-1}{H(s)}.
- Como fazer frações parciais e usar pares simples de Laplace (1↔δ(t), 1/(s+a)↔e^{−at}, 1/(s+a)2↔t·e{−at}).
Passo 2
Aplico Laplace nos dois lados (assumindo condições iniciais nulas, pois a entrada é impulso):
Logo
Passo 3
Reparo que o denominador fatora como
. Então
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, faço divisão polinomial:
Passo 4
Agora decomponho o resto em frações parciais:
Multiplicando em cima:
Comparando coeficientes:
- Para s:
. - Constante:
.
Logo
Passo 5
Agora uso transformadas inversas (para t≥0, com u(t) implícito):
-
. -
. -
.
Somando tudo: