(LATHI, Problema 2.3-1, p. 215) Determine a resposta de impulso unitário do sistema especificado pela equação (D^2+4 D+3) y(t)=(D+5) x(t).

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Determine a resposta de impulso unitário do sistema dado por
(D^2 + 4D + 3),y(t) ;=;(D + 5),x(t)
Isso é conteúdo de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) e transformada de Laplace. Vamos precisar:
  • Saber que colocar uma entrada gera a saída , a resposta ao impulso.
  • Usar Laplace para transformar derivadas em polinômios em .
  • Fazer frações parciais e voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, escolhemos (D^2 + 4D + 3),h(t) ;=;(D + 5),de. Aí a equação vira, com :
Na prática, , então a entrada no lado direito é .

Passo 3

Agora aplicamos Laplace em toda a equação (lembrando que l(s^2 + 4s + 3r),H(s) ;=; s + 5 e H(s) ;=; s+5s^2 + 4s + 3 ):
Ou seja,

Passo 4

Fazemos frações parciais em
s+5(s+1)(s+3) ;=;As+1+Bs+3
Multiplicando:
s+5 = A(s+3) + B(s+1)
  • Para H(s) = 2s+1 - 1s+3 : .
  • Para : .
    Logo

Passo 5

Voltamos ao tempo usando anti-Laplace:
h(t) = l(2e^-t - e^-3tr),u(t) e .
Como é resposta ao impulso de um sistema causal, a gente multiplica por . Então

Resposta

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