(LATHI, Problema 2.3-1, p. 215) Determine a resposta de impulso unitário do sistema especificado pela equação
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Determine a resposta de impulso unitário do sistema dado por
Isso é conteúdo de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) e transformada de Laplace. Vamos precisar:
- Saber que colocar uma entrada
gera a saída , a resposta ao impulso. - Usar Laplace para transformar derivadas em polinômios em
. - Fazer frações parciais e voltar ao domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, escolhemos
. Aí a equação vira, com
:
Na prática,
, então a entrada no lado direito é
.
Passo 3
Agora aplicamos Laplace em toda a equação (lembrando que
e
):
Ou seja,
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Multiplicando:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Logo
Passo 5
Voltamos ao tempo usando anti-Laplace:
e
.
Como é resposta ao impulso de um sistema causal, a gente multiplica por . Então
Como é resposta ao impulso de um sistema causal, a gente multiplica por