(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por yz i(t)=2 e^-t+3. É possível que a equação característica desse sistema seja:
lambda(lambda+1)^2=0? Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema LTI (linear, coeficientes constantes) e a resposta de entrada nula (zero-input) é
yzi(t)=2e^-t+3
A pergunta é: “será que a equação característica pode ser
lambda(lambda+1)^2=0;?
Para resolver isso a gente vai usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas: dado um polinômio característico, conhecemos a forma geral da solução baseada nas raízes (inclusive suas multiplicidades).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as raízes de
lambda(lambda+1)^2=0
Elas são
lambda1 = 0(simp<=s), lambda2 = -1, lambda3 = -1(dupla)

Passo 3

Pela teoria, se uma raiz lambda0 é simples, ela gera termo e^lambda0 t.
Se é dupla, gera termos e^lambda0 t e t,e^lambda0 t.
Logo, a solução geral homogênea (zero-input) é
yzi(t) = A,e^0cdot t + B,e^-t + C,t,e^-t = A + B,e^-t + C,t,e^-t

Passo 4

Comparando com o que a gente tem no enunciado,
yzi(t)=2e^-t+3,
vemos que dá para ajustar os constantes assim:
A = 3,
B = 2,
C = 0.
Ou seja, não aparece o termo t,e^-t porque simplesmente escolhemos C=0 nos parâmetros de condição inicial.

Resposta

Sim, é perfeitamente possível que a equação característica seja lambda(lambda+1)^2=0, pois a forma geral da solução homogênea cobre exatamente os termos 1, e^-t e t,e^-t, e o caso C=0 elimina o t,e^-t, sobrando somente 2e^-t+3,.

Exercícios relacionados