(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por
. É possível que a equação característica desse sistema seja:
? Justifique.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema LTI (linear, coeficientes constantes) e a resposta de entrada nula (zero-input) é
A pergunta é: “será que a equação característica pode ser
Para resolver isso a gente vai usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas: dado um polinômio característico, conhecemos a forma geral da solução baseada nas raízes (inclusive suas multiplicidades).
Passo 2
Primeiro, vamos achar as raízes de
Elas são
Passo 3
Pela teoria, se uma raiz
é simples, ela gera termo
.
Se é dupla, gera termos e
.
Logo, a solução geral homogênea (zero-input) é
Se é dupla, gera termos
Logo, a solução geral homogênea (zero-input) é
Passo 4
Comparando com o que a gente tem no enunciado,
vemos que dá para ajustar os constantes assim:
A = 3,
B = 2,
C = 0.
Ou seja, não aparece o termo porque simplesmente escolhemos
nos parâmetros de condição inicial.
A = 3,
B = 2,
C = 0.
Ou seja, não aparece o termo
Resposta
Sim, é perfeitamente possível que a equação característica seja
, pois a forma geral da solução homogênea cobre exatamente os termos
,
e
, e o caso
elimina o
, sobrando somente
.