(LATHI, Exercício E2.4, p. 159) Determine a resposta ao impulso unitário h(t) dos sistemas LCITs descritos pelas equações:
6 d yd t+12 y(t)=18 d xd t+30 x(t)

Passo 1

Beleza, aqui você tem um sistema LTI de primeira ordem descrito por
6,dydt + 12,y(t) ;=; 18,dxdt + 30,x(t)
Conteúdo: transformada de Laplace e resposta ao impulso (função ).
O que vamos precisar:
  • Propriedade da Laplace para derivadas.
  • Como isolar a função de transferência .
  • Técnicas de frações parciais e transformada inversa de Laplace pra achar .

Passo 2

Aplicar Laplace (condições iniciais nulas, 6,[sY(s)] + 12,Y(s) ;=; 18,[sX(s)] + 30,X(s) , Y(s),l(6s+12r) ;=; X(s),l(18s+30r) ). Lembre que
H(s);=;Y(s)X(s) ;=;18s+306s+12 e .
Fazendo isso:
Agora somo termos de de um lado e do outro:
Então a função de transferência é

Passo 3

Simplifica dividindo numerador e denominador por 6:
H(s) =18s+306s+12 =3s+5s+2

Passo 4

Vamos separar 3s+5s+2 = 3(s+2) -1s+2 =3 ;-;1s+2 em termos mais fáceis de inverter. Note que
Isso é útil porque já conhecemos as inversas:
  • .
  • .

Passo 5

Aplicando a inversa de Laplace termo a termo:
h(t) = L^-13 ;-; L^-1l1s+2r = 3,de

Resposta

boxed,h(t) ;=; 3,de

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