Determine a resposta ao impulso h(t) dos sistemas:
(D^2+6 D+9) y(t)=(D-1) x(t)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que achar a resposta ao impulso (D^2 + 6D + 9),y(t) ;=; (D - 1),x(t) de um sistema dado por
Conteúdo: é um sistema LTI descrito por equação diferencial de coeficientes constantes. Para resolver vamos usar:
  1. Transformada de Laplace pra virar equação algébrica;
  2. Definir a função de transferência ;
  3. Decompor em frações parciais;
  4. Aplicar a transformada inversa pra voltar a .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas, já que queremos a resposta ao impulso). Substituindo (s^2 + 6s + 9),Y(s) ;=; (s - 1),X(s) , temos
H(s) ;=;Y(s)X(s) ;=;s - 1s^2 + 6s + 9
Logo a função de transferência é

Passo 3

Observe que o denominador é um quadrado perfeito: H(s) ;=;s - 1(s+3)^2 . Então
s - 1(s+3)^2 ;=; As+3 ;+;B(s+3)^2
A gente faz fração parcial nesse formato:
s - 1 = A,(s+3) + B
Multiplicando ambos os lados por s - 1 = A s + 3A + B , dá
H(s) = 1s+3 ;-; 4(s+3)^2
Isso é
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
Então

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace. A gente lembra que:
h(t) = L^-1H(s) = L^-1tfrac1s+3 -4,L^-1tfrac1(s+3)^2 = e^-3tu(t) ;-; 4,t,e^-3tu(t)
e
.
Aqui . Então

Resposta

boxedh(t) = l(e^-3t - 4,t,e^-3tr),u(t)

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