Determine a resposta ao impulso unitário h(t) dos sistemas LCIT especificados pelas equações:
(D+1) y(t)=-(D-1) x(t)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial entre entrada x(t) e saída y(t):
(D+1)\,y(t)=-(D-1)\,x(t).
O que se pede: determinar a resposta ao impulso unitário h(t) do sistema, isto é, a saída y(t) quando a entrada é x(t)=\delta(t).
Informações relevantes dadas:
  • A equação linear com operadores diferenciais está completamente especificada.
  • Quer-se h(t), a resposta ao impulso unitário.

Passo 2

Estratégia (breve, sem resolver ainda): para sistemas LTI é muito prático usar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas (assumimos sistema causal para obter a resposta ao impulso). Vou usar as propriedades:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0^-), \qquad \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1, \qquad \mathcal{L}\{u(t)e^{-at}\}=\frac{1}{s+a},
e a linearidade da transformada. Para a resposta ao impulso tomamos condições iniciais zero, então \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação dada, com condições iniciais nulas, obtemos (escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}):
(s+1)Y(s)=-(s-1)X(s).
Como a resposta ao impulso é h(t)=y(t) quando x(t)=\delta(t), o ganho em frequência (função de transferência) é
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{-(s-1)}{s+1}.

Passo 4

Manipulo H(s) para facilitar a inversão:
H(s)=\frac{-(s-1)}{s+1}=\frac{-s+1}{s+1}.
Faço a divisão polinomial (ou reescrevo):
\frac{-s+1}{s+1}=-1+\frac{2}{s+1}.
Explicando a técnica: escrevi -s+1 = - (s+1) + 2, daí a separação em termo constante e fração propriamente dita.

Passo 5

Agora faço a transformada inversa termo a termo. Recordando as correspondências úteis:
\mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}u(t).
Aplicando em cada parcela de H(s):
\mathcal{L}^{-1}\{-1\}=-\delta(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s+1}\right\}=2e^{-t}u(t).
Portanto a resposta ao impulso é
h(t)=-\delta(t)+2e^{-t}u(t).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil para ter segurança): substituindo h(t) na equação com x(t)=\delta(t) deve valer
(D+1)h(t)=-(D-1)\delta(t).
Calculemos h'(t) sabendo que \dfrac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)=-e^{-t}u(t)+e^{0}\delta(t)=-e^{-t}u(t)+\delta(t). Assim
h'(t)=-\delta'(t)+2\big(-e^{-t}u(t)+\delta(t)\big)=-\delta'(t)-2e^{-t}u(t)+2\delta(t).
Então
h'(t)+h(t) = \big(-\delta'(t)-2e^{-t}u(t)+2\delta(t)\big) + \big(-\delta(t)+2e^{-t}u(t)\big) = -\delta'(t)+\delta(t),
que coincide com
-(D-1)\delta(t)=-(\delta'(t)-\delta(t))=-\delta'(t)+\delta(t).
Logo a solução está consistente.

Resposta

h(t)=-\delta(t)+2e^{-t}u(t)

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