Determine a resposta ao impulso unitário
dos sistemas LCIT especificados pelas equações:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial entre entrada
e saída
:
O que se pede: determinar a resposta ao impulso unitário
do sistema, isto é, a saída
quando a entrada é
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação linear com operadores diferenciais está completamente especificada.
- Quer-se
, a resposta ao impulso unitário.
Passo 2
Estratégia (breve, sem resolver ainda): para sistemas LTI é muito prático usar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas (assumimos sistema causal para obter a resposta ao impulso). Vou usar as propriedades:
e a linearidade da transformada. Para a resposta ao impulso tomamos condições iniciais zero, então
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação dada, com condições iniciais nulas, obtemos (escrevendo
e
):
Como a resposta ao impulso é
quando
, o ganho em frequência (função de transferência) é
Passo 4
Manipulo
para facilitar a inversão:
Faço a divisão polinomial (ou reescrevo):
Explicando a técnica: escrevi
, daí a separação em termo constante e fração propriamente dita.
Passo 5
Agora faço a transformada inversa termo a termo. Recordando as correspondências úteis:
Aplicando em cada parcela de
:
Portanto a resposta ao impulso é
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil para ter segurança): substituindo
na equação com
deve valer
Calculemos
sabendo que
. Assim
Então
que coincide com
Logo a solução está consistente.