Para os sistemas LCIT especificados pelas equações abaixo, determine a equação característica, as raízes características e y_{0}(t), a componente de entrada nula da resposta y(t), dadas as condições iniciais.
\quad\left(D^{2}+4 D+13\right) y(t)=4(D+2) x(t) ; y_{0}(0)=5 ; \dot{y}_{0}(0)=15,98

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com operador D:
\left(D^{2}+4 D+13\right) y(t)=4(D+2) x(t).
Pede-se:
  • Determinar a equação característica.
  • Determinar as raízes características.
  • Determinar y_{0}(t), a componente de entrada nula da resposta y(t) (ou seja, a solução homogênea, com x(t)=0), usando as condições iniciais \,y_{0}(0)=5 e \dot{y}_{0}(0)=15,98.
As informações relevantes são portanto: o operador diferencial \,D^{2}+4D+13, e as condições iniciais \,y_{0}(0)=5 e \dot{y}_{0}(0)=15,98. A resolução começa considerando o caso homogêneo (colocar x(t)=0).

Passo 2

Para obter a equação característica substitui-se D por uma variável r e iguala-se o polinômio a zero. Isso vem da busca por soluções do tipo e^{r t} para a equação homogênea.
Portanto a equação característica é
r^{2}+4r+13=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática usando o discriminante. Calcular
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot 13 = 16-52 = -36.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2} = \frac{-4\pm 6i}{2} = -2 \pm 3i.

Passo 4

Quando as raízes da característica são complexas conjugadas \alpha\pm j\beta (aqui \alpha=-2 e \beta=3), a solução geral da equação homogênea pode ser escrita em forma real como
y_{0}(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Aplicando isso ao nosso caso obtemos a forma geral
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Aqui A representa C_{1} e B representa C_{2}.)

Passo 5

Aplicar a condição inicial y_{0}(0)=5. Substituindo t=0 em y_{0}(t)
y_{0}(0)=e^{0}\big(A\cos 0 + B\sin 0\big)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Logo
A=5.

Passo 6

Agora usar \dot{y}_{0}(0)=15,98. Primeiro calculamos a derivada \dot{y}_{0}(t) de forma explícita, aplicando a regra do produto e as derivadas trigonométricas.
Começamos com
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big).
Derivando,
\dot{y}_{0}(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big) + e^{-2t}\frac{d}{dt}\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big).
Calcular cada derivada:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big) = -2e^{-2t}, \qquad \frac{d}{dt}\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big)= -3A\sin 3t + 3B\cos 3t.
Substituindo:
\dot{y}_{0}(t)= -2e^{-2t}\big(A\cos 3t + B\sin 3t\big) + e^{-2t}\big(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t\big).
Agrupando termos e fatorando e^{-2t}:
\dot{y}_{0}(t)= e^{-2t}\Big[(-2A+3B)\cos 3t + (-2B-3A)\sin 3t\Big].

Passo 7

Avaliar \dot{y}_{0}(t) em t=0:
\dot{y}_{0}(0)=e^{0}\Big[(-2A+3B)\cos 0 + (-2B-3A)\sin 0\Big]= -2A+3B.
Usando A=5 e a condição \dot{y}_{0}(0)=15,98, obtemos
-2\cdot 5 + 3B = 15,98.
Logo
-10 + 3B = 15,98 \quad\Rightarrow\quad 3B = 25,98 \quad\Rightarrow\quad B = 8,66.

Passo 8

Substituir A e B na expressão geral para obter y_{0}(t). Assim
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(5\cos 3t + 8,66\sin 3t\big).
Essa é a componente de entrada nula (solução homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas. Parabéns — essa é a parte da resposta que aparece na prova quando te pedem a resposta natural do sistema!

Resposta

\text{Equação característica: } r^{2}+4r+13=0çãí
\text{Raízes características: } r=-2\pm 3iíí
y_{0}(t)=e^{-2t}\big(5\cos 3t + 8,66\sin 3t\big)

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