Para os sistemas LCIT especificados pelas equações abaixo, determine a equação característica, as raízes características e
, a componente de entrada nula da resposta
, dadas as condições iniciais.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear com operador
:
Pede-se:
- Determinar a equação característica.
- Determinar as raízes características.
- Determinar
, a componente de entrada nula da resposta (ou seja, a solução homogênea, com ), usando as condições iniciais e .
As informações relevantes são portanto: o operador diferencial
, e as condições iniciais
e
. A resolução começa considerando o caso homogêneo (colocar
).
Passo 2
Para obter a equação característica substitui-se
por uma variável
e iguala-se o polinômio a zero. Isso vem da busca por soluções do tipo
para a equação homogênea.
Portanto a equação característica é
Portanto a equação característica é
Passo 3
Resolver a equação quadrática usando o discriminante. Calcular
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 4
Quando as raízes da característica são complexas conjugadas
(aqui
e
), a solução geral da equação homogênea pode ser escrita em forma real como
Aplicando isso ao nosso caso obtemos a forma geral
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Aqui
representa
e
representa
.)
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
em
dá
Logo
Passo 6
Agora usar
. Primeiro calculamos a derivada
de forma explícita, aplicando a regra do produto e as derivadas trigonométricas.
Começamos com
Derivando,
Calcular cada derivada:
Substituindo:
Agrupando termos e fatorando
:
Passo 7
Avaliar
em
:
Usando
e a condição
, obtemos
Logo
Passo 8
Substituir
e
na expressão geral para obter
. Assim
Essa é a componente de entrada nula (solução homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas. Parabéns — essa é a parte da resposta que aparece na prova quando te pedem a resposta natural do sistema!