Determine a resposta natural vn(t), para t>0, de um circuito RLC paralelo com R =253 Omega, L =0,1 H, C=1 mF, v(0)=10 V e i(0)=-0.6 A.

Passo 1

O enunciado pede a resposta natural vn(t) para t>0 de um circuito RLC paralelo sem fontes externas (situação natural), cujos parâmetros são
R=253,Omega, L=0,1 H, C=1 mF,
com condições iniciais
v(0)=10 V, iL(0)=-0,6 A
O conteúdo usado será a montagem da equação diferencial homogênea pelo KCL e a solução da ODE de segunda ordem.

Passo 2

Pelo KCL no nó onde está a tensão v(t) temos
iR + iC + iL = 0,
com
iR=vR, iC=C,dvdt, diLdt=vL
Diferenciando a soma igual a zero e substituindo tfracdiLdt resulta
Cd^2vdt^2 + 1R,dvdt + 1L,v = 0

Passo 3

Substituindo R=tfrac253, L=0,1, C=1times10^-3 em
C,v'' + 1Rv' + 1Lv=0
fica
10^-3v'' + 0,12,v' + 10,v=0 Longrightarrow v'' + 120,v' + 10000,v=0
Comparando com v''+2alpha,v'+omega0^2,v=0 obtemos
2alpha=120Rightarrowalpha=60;/!s, omega0=raiz10000=100;/!s
Como alpha<omega0, o regime é subamortecido com
beta=raizomega0^2-alpha^2=raiz10000-3600=80;/!s

Passo 4

A solução geral do regime subamortecido é
vn(t)=e^-alpha tl(Acos(beta t)+Bsin(beta t)r)
e da condição inicial v(0)=10 segue
A=10

Passo 5

Para achar B precisamos de v'(0). Volta-se ao KCL em t=0:
v(0)R+C,v'(0)+iL(0)=0 ;Longrightarrow; 1025/3+10^-3v'(0)-0,6=0 ;Longrightarrow; 10^-3v'(0)+0,6=0 ;Longrightarrow; v'(0)=-600;V/s
Como
v'(0)= -alpha A + beta B
temos
-600 = -60cdot10 + 80,B Longrightarrow -600 = -600 +80,B Longrightarrow B=0

Passo 6

Substituindo A=10 e B=0 na solução geral, obtém-se
vn(t)=10,e^-60tcos(80t)

Resposta

vn(t)=10,e^-60tcosl(80tr)para t>0

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