Um cabo coaxial é formado por um condutor interno de raio ạ e um condutor externo de raio b com b>a. O dielétrico que preenche o espaço entre os dois condutores é o ar.
a) Determine a distribuição de campo elétrico, na região a<r<b, se uma fonte ligada a uma das extremidades do cabo, impõe uma diferença de potencial Vs entre os condutores.
b) Uma carga resistiva, conectada na outra extremidade do cabo, faz fluir uma corrente i no sistema fonte-cabo-carga, utilizando o vetor Poynting, S=E x H[Wm^2], calcule a potência transmitida, rhos[W], ao longo do cabo.
c) Calcule a indutância e a capacitância por unidade de comprimento do cabo.
d) Determine o campo máximo no cabo. Escreva a expressão da potência em termos do campo máximo. O valor crítico de campo elétrico é limitado pela rigidez dielétrica do ar, ou seja, deve-se garantir Emax <Ec r. Para b fixo, ache qual deve ser a razão ba para obter a máxima potência.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial formado por um condutor interno de raio a e externo de raio b (com b>a), preenchido por ar (permitividade varepsilon0 e permeabilidade mu0).
Conteúdos a usar: lei de Gauss para achar o campo elétrico, lei de Ampère para o campo magnético, definição do vetor de Poynting, e fórmulas padrão de indutância e capacitância por comprimento de um coaxial.

Passo 2

Para a<r<b usamos a lei de Gauss em um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. O fluxo é
PhiE = oint Ecdot d S = E(r),(2pi r L)
e a carga interna é lambda L. Assim
E(r),(2pi r L)=lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=lambda2pivarepsilon0,r
A diferença de potencial Vs entre os condutores vale
Vs=integrala^b E(r),dr =lambda2pivarepsilon0integrala^bdrr =lambda2pivarepsilon0ln!l( b ar),
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lambda=2pivarepsilon0,Vsln(b/a), boxedE(r)=Vsr,ln(b/a); r

Passo 3

Quando circula corrente i, a lei de Ampère dá o campo magnético azimutal
Hphi(r)=i2pi r
O vetor de Poynting é S= Etimes H, apontando ao longo do eixo do cabo, com magnitude
S(r)=E(r),Hphi(r) =Vsrln(b/a);i2pi r =Vs,i2pi,r^2,ln(b/a)
A potência transmitida por unidade de comprimento é
P'=integrala^b S(r),2pi r,dr =integrala^bVs,iln(b/a);drr =Vs,iln(b/a)ln!l( b ar) =Vs,i
Portanto
boxedP=Vs,i

Passo 4

As fórmulas padrão para coaxial no vácuo/ar são
boxedC'=2pivarepsilon0ln(b/a), L'=mu02pi,ln!l( b ar)

Passo 5

O campo elétrico é máximo em r=a:
Emax = E(a)=Vsa,ln(b/a)
Invertendo, Vs=Emax,a,ln(b/a). Como P=Vs,i e i=Vs/Z0 com
Z0=raizL'C' =12piraizmu0varepsilon0;ln!l( b ar),
obtemos
P=Vs^2Z0 =(Emax,a,ln(b/a))^2Z0 =2pi,Emax^2,a^2,ln(b/a)raizmu0/varepsilon0
Para b fixo e Emax no limite Ec, escrevemos Ppropto a^2(ln(b/a))/eta com eta=raizmu0/varepsilon0. Definindo x=b/a,
Pproptoln xx^2
Maximizando em x
ddxl(ln xx^2r)=0 ;Longrightarrow; -2ln x+1=0 ;Longrightarrow; ln x=tfrac12 ;Longrightarrow; x=e^1/2=raiz e
Logo a razão ótima é
boxedba=raiz eapprox1,6487

Resposta

a) E(r)=Vsrln(b/a); r.
b) P=Vs,i.
c) C'=2pivarepsilon0ln(b/a), L'=mu02piln!l(tfrac b ar).
d) Emax=Vsaln(b/a),;P=2pi Emax^2 a^2ln(b/a)raizmu0/varepsilon0,; b a=raiz e.

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