Ex. Determine a resposta natural para o circuito RLC em paralelo para
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores no enunciado e na figura enviada):
- Valores dos componentes:
-
. -
. -
.
-
- Condições iniciais (peguei
e do enunciado/imagem): -
. -
.
-
- O que é pedido: determinar a resposta natural do circuito paralelo RLC para
, ou seja, encontrar (e, se for útil, as correntes em cada ramo) para .
Passo 2
Montando a equação diferencial a partir da lei dos nós no nó superior (KCL), usando
como a tensão comum do circuito paralelo:
- Soma das correntes saindo do nó:
. - Escrevendo cada corrente em função de
: -
. -
. -
(variável de estado).
Portanto
-
Diferenciando em relação ao tempo para eliminar
(pois
):
Colocando na forma padrão de segunda ordem:
Passo 3
Reescrevendo na forma normalizada
, identificamos
Calculemos os parâmetros numéricos (usando os valores do Passo 1):
-
. - Logo
- Para
:
Observação importante: aqui apareceu
, ou seja estamos exatamente no caso criticamente amortecido (raiz dupla).
Passo 4
Solução geral para o caso criticamente amortecido (
, raízes iguais): a solução da equação homogênea é da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Vou explicar por que: para raízes iguais
da equação característica, a solução é
e
, daí a combinação linear acima.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais para achar
e
.
Primeira condição:
.
Então
e a solução reduz para
.
Segunda condição: usamos a relação de KCL no instante inicial para obter
. Da equação dos ramos em
:
Substituindo
e
, obtemos
Assim
Agora calcule
. Derivando
:
Em
:
. Portanto
Passo 6
Escrevendo a solução final para
com os valores numéricos:
(se preferir em forma sem notação científica:
.)
Opcional — correntes nos ramos (útil na prova): com
conhecido, as correntes ficam
-
-
-
pode ser obtido por (KCL), que se simplifica para
verificando
conforme dado.