Ex. Determine a resposta natural para o circuito RLC em paralelo para t \geq 0
\begin{array}{ll} L=8 \mathrm{H} & V_{0}=0 \\\ C=0,125 \mu \mathrm{~F} & I_{0}=-12,25 \mathrm{~mA} \\\ R=4 \mathrm{k} \Omega & \end{array}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores no enunciado e na figura enviada):
  • Valores dos componentes:
    • L=8\\ \mathrm{H}.
    • C=0{,}125\\ \mu\mathrm{F} = 1{,}25\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
    • R=4\\ \mathrm{k}\Omega = 4{,}0\times10^{3}\\ \Omega.
  • Condições iniciais (peguei V_0 e I_0 do enunciado/imagem):
    • v(0)=V_{0}=0.
    • i_{L}(0)=I_{0}=-12{,}25\\ \mathrm{mA} = -0{,}01225\\ \mathrm{A}.
  • O que é pedido: determinar a resposta natural do circuito paralelo RLC para t\ge 0, ou seja, encontrar v(t) (e, se for útil, as correntes em cada ramo) para t\ge0.

Passo 2

Montando a equação diferencial a partir da lei dos nós no nó superior (KCL), usando v(t) como a tensão comum do circuito paralelo:
  • Soma das correntes saindo do nó: i_R+i_C+i_L=0.
  • Escrevendo cada corrente em função de v:
    • i_R=\dfrac{v}{R}.
    • i_C=C\,\dfrac{dv}{dt}.
    • i_L=i_L(t) (variável de estado).
      Portanto
\frac{v}{R}+C\frac{dv}{dt}+i_L=0.
Diferenciando em relação ao tempo para eliminar i_L (pois \dfrac{di_L}{dt}=\dfrac{v}{L}):
\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}+C\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{v}{L}=0.
Colocando na forma padrão de segunda ordem:
C\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{L}v=0.

Passo 3

Reescrevendo na forma normalizada \dfrac{d^2v}{dt^2}+2\alpha\frac{dv}{dt}+\omega_0^2 v=0, identificamos
2\alpha=\frac{1}{RC},\qquad \omega_0^2=\frac{1}{LC}.
Calculemos os parâmetros numéricos (usando os valores do Passo 1):
  • RC = 4{,}0\times10^{3}\cdot 1{,}25\times10^{-7}=5{,}0\times10^{-4}.
  • Logo
2\alpha=\frac{1}{RC}=\frac{1}{5{,}0\times10^{-4}}=2{,}0\times10^{3}\\ \Rightarrow\\ \alpha=1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Para \omega_0:
LC = 8\cdot 1{,}25\times10^{-7}=1{,}0\times10^{-6}\quad\Rightarrow\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1{,}0\times10^{-6}}}=1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Observação importante: aqui apareceu \alpha=\omega_0=1000\\ \mathrm{s^{-1}}, ou seja estamos exatamente no caso criticamente amortecido (raiz dupla).

Passo 4

Solução geral para o caso criticamente amortecido ( \alpha=\omega_0, raízes iguais): a solução da equação homogênea é da forma
v(t)=(A+B t)e^{-\alpha t},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Vou explicar por que: para raízes iguais -\alpha da equação característica, a solução é e^{-\alpha t} e t e^{-\alpha t}, daí a combinação linear acima.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais para achar A e B.
Primeira condição: v(0)=V_0=0.
v(0)=(A+B\cdot0)e^{0}=A=0.
Então A=0 e a solução reduz para v(t)=B\,t\,e^{-\alpha t}.
Segunda condição: usamos a relação de KCL no instante inicial para obter \dfrac{dv}{dt}(0). Da equação dos ramos em t=0:
\frac{v(0)}{R}+C\frac{dv}{dt}(0)+i_L(0)=0.
Substituindo v(0)=0 e i_L(0)=-0{,}01225\\ \mathrm{A}, obtemos
C\frac{dv}{dt}(0)=-i_L(0)=0{,}01225\\ \mathrm{A}.
Assim
\frac{dv}{dt}(0)=\frac{0{,}01225}{C}=\frac{0{,}01225}{1{,}25\times10^{-7}}=9{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{V/s}.
Agora calcule B. Derivando v(t)=B t e^{-\alpha t}:
\frac{dv}{dt}(t)=B e^{-\alpha t}(1-\alpha t).
Em t=0: \dfrac{dv}{dt}(0)=B. Portanto
B=\frac{dv}{dt}(0)=9{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{V/s}.

Passo 6

Escrevendo a solução final para v(t) com os valores numéricos:
v(t)=9{,}8\times10^{4}\; t\; e^{-1000\,t}\\ \mathrm{V},\qquad t\ge0.
(se preferir em forma sem notação científica: v(t)=98\,000\,t\,e^{-1000 t}\\ \mathrm{V}.)
Opcional — correntes nos ramos (útil na prova): com v(t) conhecido, as correntes ficam
  • i_R(t)=\dfrac{v(t)}{R}=\dfrac{9{,}8\times10^{4}\,t\,e^{-1000 t}}{4{,}0\times10^{3}}=24{,}5\,t\,e^{-1000 t}\\ \mathrm{A}.
  • i_C(t)=C\frac{dv}{dt}=1{,}25\times10^{-7}\cdot 9{,}8\times10^{4}(1-1000 t)e^{-1000 t}=0{,}01225(1-1000 t)e^{-1000 t}\\ \mathrm{A}.
  • i_L(t) pode ser obtido por i_L=-i_R-i_C (KCL), que se simplifica para
i_L(t)=-0{,}01225(1+1000 t)e^{-1000 t}\\ \mathrm{A},
verificando i_L(0)=-0{,}01225\\ \mathrm{A} conforme dado.

Resposta

v(t)=9{,}8\times10^{4}\;t\;e^{-1000\,t}\\ \mathrm{V},\quad t\ge0.
i_R(t)=24{,}5\,t\,e^{-1000 t}\\ \mathrm{A}.
i_C(t)=0{,}01225(1-1000 t)e^{-1000 t}\\ \mathrm{A}.
i_L(t)=-0{,}01225(1+1000 t)e^{-1000 t}\\ \mathrm{A}.

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