- Um sinal cossenoidal de 2 kHz e 10 V de amplitude modulada em FM, uma portadora de 10 MHz e 100 Vpp num circuito com uma constante de modulação igual a
. Determine:
a. A expressão que rege o comportamento do sinal modulado.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado) e pede a expressão do sinal FM:
- Sinal modulador (cossenoidal): amplitude
e frequência . - Portadora: frequência
e tensão de pico a pico . - Constante de modulação (sensibilidade em frequência):
.
O que se pede: a expressão temporal do sinal modulado em frequência (FM) correspondente a esses dados.
Passo 2
Conceito e fórmula geral de FM (explicação didática).
- Em modulação em frequência, a informação entra fazendo variar a frequência instantânea da portadora. É mais fácil escrever o sinal FM através da sua fase instantânea
. - A forma geral (assumindo fase inicial nula) é:
onde
é a fase instantânea dada por
- Aqui:
-
é a amplitude da portadora (volt), -
é a pulsação angular da portadora (rad/s), -
é a sensibilidade em frequência (rad/V·s), -
é o sinal modulador (volt), - a integral
transforma a variação de tensão do modulador numa variação de fase (porque a frequência é a derivada da fase).
-
Passo 3
Escrevendo o modulador específico e integrando (passo a passo).
- O modulador é um cosseno:
onde
.
- A integral necessária é
pois a primitiva de
é
. (Essa conta é elementar: derivada de
dá
, logo multiplicando por
desfaz a constante.)
Passo 4
Substituindo a integral na fase instantânea e definindo o índice de modulação.
- Substituindo na expressão de
:
- Convenção útil: define-se o índice de modulação
por
assim a fase fica
e
Essa é a forma padrão para FM com modulador cossenoidal.
Passo 5
Calcular numericamente as quantidades necessárias (faça na prova dessa maneira).
- Primeiro a amplitude da portadora
a partir de . Lembre-se que , logo
- Pulsação angular da portadora:
- Pulsação angular do modulador:
Passo 6
Calcular o índice de modulação
numericamente (detalhando contas).
- Usando
com , e calculada:
- Notando que
, faz-se
Portanto o índice de modulação é
(valor pequeno — narrowband FM).
Passo 7
Escrever a expressão final do sinal modulado com todos os valores.
- Substituindo
, , e obtemos a expressão do FM:
- Se preferir usar pulsagens em rad/s explícitas: