1. Um sinal cossenoidal de 2 kHz e 10 V de amplitude modulada em FM, uma portadora de 10 MHz e 100 Vpp num circuito com uma constante de modulação igual a 125,66 \mathrm{rad} / \mathrm{Vs}. Determine:
a. A expressão que rege o comportamento do sinal modulado.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado) e pede a expressão do sinal FM:
  • Sinal modulador (cossenoidal): amplitude A_m=10\\ \mathrm{V} e frequência f_m=2\\ \mathrm{kHz}.
  • Portadora: frequência f_c=10\\ \mathrm{MHz} e tensão de pico a pico V_{pp}=100\\ \mathrm{V}.
  • Constante de modulação (sensibilidade em frequência): k_f=125{,}66\\ \mathrm{rad/V\,s}.
    O que se pede: a expressão temporal do sinal modulado em frequência (FM) correspondente a esses dados.

Passo 2

Conceito e fórmula geral de FM (explicação didática).
  • Em modulação em frequência, a informação entra fazendo variar a frequência instantânea da portadora. É mais fácil escrever o sinal FM através da sua fase instantânea \theta(t).
  • A forma geral (assumindo fase inicial nula) é:
s(t)=A_c\cos\big(\theta(t)\big)
onde \theta(t) é a fase instantânea dada por
\theta(t)=\omega_c t + k_f\int_{0}^{t} m(\tau)\, d\tau.
  • Aqui:
    • A_c é a amplitude da portadora (volt),
    • \omega_c=2\pi f_c é a pulsação angular da portadora (rad/s),
    • k_f é a sensibilidade em frequência (rad/V·s),
    • m(t) é o sinal modulador (volt),
    • a integral \int_{0}^{t} m(\tau)\,d\tau transforma a variação de tensão do modulador numa variação de fase (porque a frequência é a derivada da fase).

Passo 3

Escrevendo o modulador específico e integrando (passo a passo).
  • O modulador é um cosseno:
m(t)=A_m\cos(\omega_m t),
onde \omega_m=2\pi f_m.
  • A integral necessária é
\int_{0}^{t} m(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} A_m\cos(\omega_m\tau)\,d\tau = \frac{A_m}{\omega_m}\sin(\omega_m t),
pois a primitiva de \cos(\omega_m\tau) é \frac{1}{\omega_m}\sin(\omega_m\tau). (Essa conta é elementar: derivada de \sin(\omega_m t) \omega_m\cos(\omega_m t), logo multiplicando por 1/\omega_m desfaz a constante.)

Passo 4

Substituindo a integral na fase instantânea e definindo o índice de modulação.
  • Substituindo na expressão de \theta(t):
\theta(t)=\omega_c t + k_f\frac{A_m}{\omega_m}\sin(\omega_m t).
  • Convenção útil: define-se o índice de modulação \beta por
\beta = k_f\frac{A_m}{\omega_m},
assim a fase fica \theta(t)=\omega_c t + \beta\sin(\omega_m t) e
s(t)=A_c\cos\big(\omega_c t + \beta\sin(\omega_m t)\big).
Essa é a forma padrão para FM com modulador cossenoidal.

Passo 5

Calcular numericamente as quantidades necessárias (faça na prova dessa maneira).
  • Primeiro a amplitude da portadora A_c a partir de V_{pp}. Lembre-se que V_{pp}=2A_c, logo
A_c=\frac{V_{pp}}{2}=\frac{100}{2}=50\\ \mathrm{V}.
  • Pulsação angular da portadora:
\omega_c = 2\pi f_c = 2\pi\cdot 10\times10^{6}=2\pi\cdot10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Pulsação angular do modulador:
\omega_m = 2\pi f_m = 2\pi\cdot 2000 = 4000\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 12566{,}37\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular o índice de modulação \beta numericamente (detalhando contas).
  • Usando \beta = k_f A_m/\omega_m com k_f=125{,}66\\ \mathrm{rad/V\,s}, A_m=10\\ \mathrm{V} e \omega_m calculada:
\beta = \frac{125{,}66\cdot 10}{4000\pi} = \frac{1256{,}6}{4000\pi}.
  • Notando que 4000\pi\approx 12566{,}37, faz-se
\beta \approx \frac{1256{,}6}{12566{,}37}=0{,}1.
Portanto o índice de modulação é \beta=0{,}1 (valor pequeno — narrowband FM).

Passo 7

Escrever a expressão final do sinal modulado com todos os valores.
  • Substituindo A_c, \omega_c, \omega_m e \beta obtemos a expressão do FM:
s(t)=50\cos\!\Big(2\pi\cdot10^{7}\,t + 0{,}1\sin(2\pi\cdot2000\,t)\Big).
  • Se preferir usar pulsagens em rad/s explícitas:
s(t)=50\cos\!\Big(2\pi\cdot10^{7}t + 0{,}1\sin(4000\pi\,t)\Big).

Resposta

s(t)=50\cos\!\Big(2\pi\cdot10^{7}\,t + 0{,}1\sin(2\pi\cdot2000\,t)\Big)

Exercícios relacionados