1. Um sinal cossenoidal de 2 kHz e 10 V de amplitude modulada em FM, uma portadora de 10 MHz e 100 Vpp num circuito com uma constante de modulação igual a 125,66 \mathrm{rad} / \mathrm{Vs}. Determine:
c. A potência entregue por esse modulador, nessas condições, a uma antena de 50 \Omega.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a potência entregue pelo modulador a uma antena de 50\\ \Omega nas condições dadas.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Sinal modulador: cossenoidal com frequência f_m = 2\\ \text{kHz} e amplitude A_m = 10\\ \text{V}.
  • Portadora: frequência f_c = 10\\ \text{MHz} e tensão de pico-a-pico V_{pp} = 100\\ \text{V}.
  • Constante de modulação (sensibilidade de frequência): k_f = 125{,}66\\ \text{rad/(V·s)} (ou seja, \text{rad/s per V}).
  • Carga (antena): R = 50\\ \Omega.
O que se pede aqui é apenas a potência entregue à carga em condições dadas (parte (c)).

Passo 2

Identificar a amplitude de pico da portadora (tensão de pico, A_c) a partir de V_{pp}.
A relação entre pico-a-pico e pico é
A_c = \frac{V_{pp}}{2}.
Substituindo os números:
A_c = \frac{100}{2} = 50\\ \text{V}.

Passo 3

Recordando a definição de tensão eficaz (RMS) para uma senoide de amplitude de pico A_c: a tensão eficaz é
V_{\text{rms}}=\frac{A_c}{\sqrt{2}}.
Explicando: uma senoide v(t)=A_c\cos(\omega t) tem potência média numa resistência R dada por P_{\text{média}}=\dfrac{A_c^2}{2R}é. A forma alternativa é usar V_{\text{rms}}^2/R, e como V_{\text{rms}}=A_c/\sqrt{2} essas expressões são equivalentes.
Calculemos V_{\text{rms}}:
V_{\text{rms}}=\frac{50}{\sqrt{2}}\approx 35,355\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular a potência média entregue à carga usando P=V_{\text{rms}}^2/R. Alternativamente usar diretamente
P=\frac{A_c^2}{2R},
que é a mesma fórmula (mais direta quando se tem A_c).
Usando A_c=50\\ \text{V} e R=50\\ \Omega:
P=\frac{A_c^2}{2R}=\frac{50^2}{2\cdot 50}=\frac{2500}{100}=25\\ \text{W}.

Passo 5

Comentário didático importante (por que não precisamos do índice de modulação para a potência):
Em modulação de ângulo (FM ou PM) a amplitude do sinal permanece constante (a forma é s(t)=A_c\cos(\theta(t))). Como a potência média depende apenas de A_c e da carga, a potência total do sinal modulado é igual à potência do portador não modulada, independentemente do índice de modulação. Portanto os parâmetros f_m, A_m e k_f não alteram a potência entregue — eles mudam a distribuição de potência entre as linhas laterais, mas a soma permanece 25\\ \text{W}.
Para fixar a ideia, podemos calcular rapidamente o índice de modulação \beta (apenas para aprender como ele é obtido):
\Delta\omega = k_f A_m = 125{,}66\cdot 10 = 1256{,}6\\ \text{rad/s},
\omega_m = 2\pi f_m = 2\pi\cdot 2000 = 4000\pi \approx 12566{,}37\\ \text{rad/s},
\beta=\frac{\Delta\omega}{\omega_m}=\frac{1256{,}6}{12566{,}37}=0{,}1.
Aqui \beta=0{,}1 é pequeno, então a maior parte da potência fica no componente central (portadora), mas isso não afeta a potência total calculada no passo anterior.

Resposta

25\\ \text{W}

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