Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente achar a saída
de um sistema descrito pela equação diferencial
com condição inicial
e entrada
(o degrau unitário).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1º ordem e transformada de Laplace (ou fator integrante). Vamos usar Laplace porque facilita lidar com a condição inicial de uma vez.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1º ordem e transformada de Laplace (ou fator integrante). Vamos usar Laplace porque facilita lidar com a condição inicial de uma vez.
Passo 2
Primeiro, coloco a eq. no formato padrão:
sabendo que
. A condição inicial é
. Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados.
Passo 3
Lembrando que
e , temos:
e
Juntando termos em
:
Passo 4
Isolando
:
Para inverter em cada pedaço, fazemos frações parciais no segundo termo:
Achar
:
- Em
: . - Em
: .
Então
Passo 5
Agora fazemos a inversa:
Como a gente já sabe que para
o sistema estava em repouso e a entrada só entra em
, vale só pra
.