Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
a) 5 doty+10 y=2 x, y(0^-)=2, x(t)=u(t)

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente achar a saída 5,dot y + 10,y = 2,x, de um sistema descrito pela equação diferencial
com condição inicial e entrada (o degrau unitário).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1º ordem e transformada de Laplace (ou fator integrante). Vamos usar Laplace porque facilita lidar com a condição inicial de uma vez.

Passo 2

Primeiro, coloco a eq. no formato padrão:
dot y + 2,y = 25,u(t),
sabendo que . A condição inicial é . Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados.

Passo 3

Lembrando que
s,Y(s) - 2 ;+; 2,Y(s) ;=;25,1s
e (s + 2),Y(s) - 2 = 25,s Longrightarrow (s + 2),Y(s) = 2 + 25,s , temos:
Juntando termos em :

Passo 4

Isolando Y(s) = 2s+2 ;+;tfrac25s,(s+2) :
2/5s(s+2) = As + Bs+2
Para inverter em cada pedaço, fazemos frações parciais no segundo termo:
Y(s) = 2s+2 ;+;1/5s ;-;1/5s+2 = 1/5s + 2 - 1/5s+2 = 1/5s + 9/5s+2
Achar :
  • Em : .
  • Em : .
    Então

Passo 5

Agora fazemos a inversa:
y(t) = 15,u(t) + 95,e^-2t,u(t)
Como a gente já sabe que para o sistema estava em repouso e a entrada só entra em , vale só pra .

Resposta

boxedy(t) = 15 + 95,e^-2t, t>=0

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