Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
c)
c)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para inverter a transformada de Laplace bilateral
Matéria: transformada de Laplace bilateral e região de convergência (ROC).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição da transformada bilateral
- Saber que ROC à esquerda (Re(s)<–1) indica sinal “left‐sided” (ou seja, só existe para t<0)
- Calcular a integral de
de a 0
Passo 2
Definição da transformada bilateral:
A ROC é o conjunto de valores de
em que essa integral converge.
Como o enunciado diz , concluímos que nosso
é “left‐sided”, ou seja
Como o enunciado diz
e só pode haver coisa para
.
Passo 3
Vamos testar um candidato natural para um sinal “exponencial vezes cosseno” à esquerda:
onde
vale 1 para
e 0 para
.
Calculemos a transformada desse :
Calculemos a transformada desse
Para resolver essa integral, faça a mudança
, logo
,
e quando
,
:
Sabendo a fórmula (válida se
)
aqui temos
e
. Logo
Passo 4
Perceba que
, mas nosso
do enunciado é
.
Para ajustar, basta multiplicar o tempo por . Ou seja, o
procurado é
Para ajustar, basta multiplicar o tempo por
Resposta
A transformada inversa é
com região de convergência
.