Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
c) X(s)=s+1(s+1)^2+9, Re(s)<-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para inverter a transformada de Laplace bilateral
X(s)=s+1(s+1)^2+9,, Re(s)<-1
Matéria: transformada de Laplace bilateral e região de convergência (ROC).
O que vamos precisar:
  1. Definição da transformada bilateral
  2. Saber que ROC à esquerda (Re(s)<–1) indica sinal “left‐sided” (ou seja, só existe para t<0)
  3. Calcular a integral de de a 0

Passo 2

Definição da transformada bilateral:
X(s)=integral-infty^inftyx(t),e^-s t,dt
A ROC é o conjunto de valores de x(t)=0para t>0,, em que essa integral converge.
Como o enunciado diz , concluímos que nosso é “left‐sided”, ou seja
e só pode haver coisa para .

Passo 3

Vamos testar um candidato natural para um sinal “exponencial vezes cosseno” à esquerda:
x0(t)=e^-tcos(3t),u(-t)
onde X0(s) &=integral-infty^0 e^-tcos(3t),e^-s t,dt =integral-infty^0 e^-(s+1)tcos(3t),dt vale 1 para X0(s) &=integralu=+infty^0e^-(s+1)(-u)cos(3cdot(-u))(-du) =integral0^inftye^(s+1)ucos(3u),du e 0 para integral0^inftye^-alpha ucos(omega u),du =alphaalpha^2+omega^2, .
Calculemos a transformada desse X0(s) =-(s+1)(s+1)^2+9 :
Para resolver essa integral, faça a mudança , logo , e quando , :
Sabendo a fórmula (válida se )
aqui temos e . Logo

Passo 4

Perceba que x(t) = -,x0(t) =-,e^-tcos(3t),u(-t) , mas nosso do enunciado é .
Para ajustar, basta multiplicar o tempo por . Ou seja, o procurado é

Resposta

A transformada inversa é
boxed x(t) =-,e^-t,cos(3t),u(-t) Long<=ftrightarrow -,e^-tcos(3t),&t<0, 0,&t>0,
com região de convergência .

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