Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
e)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra encontrar a saída
de um sistema descrito pela equação diferencial
com condições iniciais
e entrada
Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares com entrada, e a gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver, aproveitando propriedades de derivada e depois fazer a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, aplicamos Transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
e
.
Fazendo isso na equação:
[
\mathcal{L}{\ddot y}+4\mathcal{L}{\dot y}+4\mathcal{L}{y}
\mathcal{L}{\dot x}+\mathcal{L}{x}.
]
]
Substituindo iniciais
,
e
, obtemos
Passo 3
No lado esquerdo somamos termos:
No direito:
Então
Para fazer frações parciais, note que
Passo 4
Agora usamos tabelinha da transformada inversa:
Logo,