Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
e) ddoty+4 doty+4 y=dotx+x, y(0^-)=2, doty(0^-)=3, x(t)=e^-2 t u(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar a saída ddoty+4doty+4y ;=;dotx+x de um sistema descrito pela equação diferencial
y(0^-)=2, doty(0^-)=3
com condições iniciais
x(t)=e^-2tu(t)
e entrada
Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares com entrada, e a gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver, aproveitando propriedades de derivada e depois fazer a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, aplicamos Transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Lddot y+4Ldot y+4Ly = Ldot x+Lx e l(s^2Y-2s-3r)+4l(sY-2r)+4Y ;=; l(sX(s)-x(0^-)r)+X(s) ;=; l(tfracss+2-1r)+tfrac1s+2 .
Fazendo isso na equação:
[
\mathcal{L}{\ddot y}+4\mathcal{L}{\dot y}+4\mathcal{L}{y}

\mathcal{L}{\dot x}+\mathcal{L}{x}.
]
Substituindo iniciais , e , obtemos

Passo 3

No lado esquerdo somamos termos:
(s^2+4s+4)Y - (2s+3+8) =(s+2)^2Y - (2s+11)
No direito:
tfracss+2-1+tfrac1s+2 =tfracs+1s+2-1 =tfrac-1s+2
Então
(s+2)^2,Y(s) - (2s+11) =,-tfrac1s+2 ;;Longrightarrow;; Y(s) =2s+11(s+2)^2;-;1(s+2)^3
Para fazer frações parciais, note que
2s+11(s+2)^2 =2(s+2)+7(s+2)^2 = 2s+2+7(s+2)^2

Passo 4

Agora usamos tabelinha da transformada inversa:
L^-1!ltfrac1s+2r=e^-2t, L^-1!ltfrac1(s+2)^2r=t,e^-2t, L^-1!ltfrac1(s+2)^3r=tfract^22e^-2t
Logo,
y(t) =2,e^-2t+7,t,e^-2t ;-;tfract^22,e^-2t, t>=0

Resposta

boxedy(t)=e^-2tl(2+7t-tfract^22r),u(t)

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