Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
h) X(s)=s-2s^2(s+4),-4

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada inversa de Laplace de
X(s)=s-2s^2,(s+4),
com região de convergência .
Matéria: transformada de Laplace de sinais que podem existir pra (causais) e (anti-causais).
O que vamos usar:
  1. decomposição em frações parciais;
  2. lembrar os pares básicos
    com ROC ,
    com ROC ,
    com ROC ,
    com ROC ,
    com ROC ,
    com ROC .

Passo 2

Fazendo frações parciais:
s-2s^2(s+4)=As+Bs^2+Cs+4
Multiplica tudo por s-2 = A,s,(s+4)+B,(s+4)+C,s^2 = (A+C)s^2 + (4A+B)s + (4B) e iguala coeficientes de A+C = 0, 4A+B = 1, 4B = -2 ;Rightarrow; B=-tfrac12,; 4A-tfrac12=1;Rightarrow;A=tfrac38,; C=-A=-tfrac38 :
Comparando:

Passo 3

Agora olha a ROC :
  • para os termos em e , precisamos da parte anti-causal ( );
  • para , a parte causal ( ).
Inversões:
  1. , ROC .
  2. , ROC .
  3. , ROC .

Resposta

x(t)= underbracel(-tfrac38+tfrac12,tr),u(-t)parte para t<0 ;+; underbracel(-tfrac38,e^-4tr),u(t)parte para t>0

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