Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
a) X(s)=3s^2+5 s-1

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente usar as transformadas unilaterais de Laplace e descobrir dois troços do sinal x(0^+)=limstoinftys,X(s) quando:
  • x(infty)=limsto 0s,X(s), chega a zero pela direita ( X(s)=3s^2+5s-1 ), e
  • vai pra infinito ( ).
O que cai aqui é a Teoria dos Teoremas de Valor Inicial e Valor Final da Laplace. A partir da transformada a gente usa:
  1. Teorema do Valor Inicial:
  1. Teorema do Valor Final:
desde que os polos permitam (tem que garantir que o sinal “se comporte” pra valer).
Aqui temos

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial. A ideia é simples: se x(0^+)=limstoinftys,X(s) é a Laplace de , então
Isso vem do fato de que, no domínio do tempo, a informação de “puxa” o comportamento de quando .

Passo 3

Calculando
x(0^+)=limstoinftys;3s^2+5s-1 =limstoinfty3ss^2l(1+tfrac5s-tfrac1s^2r) =limstoinfty3s;11+0-0 =0
Ou seja, o sinal em vale zero.

Passo 4

Agora, o Teorema do Valor Final diz
x(infty)=limsto 0s,X(s),
mas atenção: ele só vale se todos os polos de estiverem no semiplano esquerdo (Re( )<0). Se tiver algum polo com parte real positiva (ou no eixo imaginário), o sinal não converge e o teorema não se aplica.

Passo 5

Vamos olhar os polos de s^2+5s-1=0Rightarrow s=-5pmraiz25+42 =-5pmraiz292 . O denominador é
Um deles é . Repara que este polo tá no lado direito do plano (parte real positiva).
Isso significa que o sinal não se acomoda num valor finito quando e o Teorema do Valor Final não é válido aqui.

Resposta


não existe (o sinal não converge devido a um polo em Re( )>0).

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