Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível,
e
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente usar as transformadas unilaterais de Laplace e descobrir dois troços do sinal
quando:
-
chega a zero pela direita ( ), e -
vai pra infinito ( ).
O que cai aqui é a Teoria dos Teoremas de Valor Inicial e Valor Final da Laplace. A partir da transformada
a gente usa:
- Teorema do Valor Inicial:
- Teorema do Valor Final:
desde que os polos permitam (tem que garantir que o sinal “se comporte” pra valer).
Aqui temos
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial. A ideia é simples: se
é a Laplace de
, então
Isso vem do fato de que, no domínio do tempo, a informação de
“puxa” o comportamento de
quando
.
Passo 3
Calculando
Ou seja, o sinal em
vale zero.
Passo 4
Agora, o Teorema do Valor Final diz
mas atenção: ele só vale se todos os polos de
estiverem no semiplano esquerdo (Re(
)<0). Se tiver algum polo com parte real positiva (ou no eixo imaginário), o sinal não converge e o teorema não se aplica.
Passo 5
Vamos olhar os polos de
. O denominador é
Um deles é
. Repara que este polo tá no lado direito do plano
(parte real positiva).
Isso significa que o sinal não se acomoda num valor finito quando e o Teorema do Valor Final não é válido aqui.
Isso significa que o sinal não se acomoda num valor finito quando