Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
d) ddoty+2 doty+5 y=dotx, y(0^-)=2, doty(0^-)=0, x(t)=e^-t u(t)

Passo 1

Beleza, o exercício manda resolver a equação diferencial
ddot y + 2dot y + 5y = dot x,, y(0^-) = 2,;dot y(0^-) = 0
com entrada x(t)=e^-tu(t),
Isso é conteúdo de resposta de sistemas via transformada de Laplace. Vamos precisar de:
1. Saber aplicar a transformada de Laplace em derivadas (histórico de CI).
2. Resolver frações parciais para achar .
3. Fazer a antitransformada pra voltar a .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace à EDO, lembrando que
underbrace(s^2Y - scdot2 - 0) Lddot y +2underbrace(sY - 2) Ldot y +5Y ;=; Ldot x =;sX(s)-x(0^-), e .
Fica:
Como e , o lado direito é .

Passo 3

Juntando tudo:
(s^2+2s+5)Y(s);-;(2s+4);=; ss+1 ;;Longrightarrow;; Y(s) =dfrac ss+1+2s+4s^2+2s+5 =2s^2+7s+4(s+1)l(s^2+2s+5r),

Passo 4

Agora, frações parciais:
2s^2+7s+4(s+1)l(s^2+2s+5r) =As+1+Bs+Cs^2+2s+5
Resolvendo os coeficientes dá
A=-tfrac14, B=tfrac94, C=tfrac214,
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Y(s) =-141s+1 +tfrac94,s+tfrac214(s+1)^2+2^2
Escrevendo Y(s) =-141s+1 +9/4,(s+1)(s+1)^2+4 +3(s+1)^2+4 ,

Passo 5

Antitransformada:
  • y(t) =-tfrac14e^-t +tfrac94,e^-tcos(2t) +tfrac32,e^-tsin(2t), t>=0 .
  • .
  • .
Como temos ,
fica

Resposta

boxedy(t)=e^-tl(-tfrac14+tfrac94cos(2t)+tfrac32sin(2t)r),u(t)

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