Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
d)
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Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace de
Isso faz parte de Transformada de Laplace bilateral (já que deram uma região de convergência “entre” dois polos).
O que vamos usar:
1) fatorar o denominador pra encontrar os polos;
2) decompor em frações parciais;
3) entender como a Região de Convergência (ROC) “entre” polos indica se cada termo é pra
4) aplicar as tabelas básicas de inversa (
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
Assim os polos são
Passo 3
Agora a decomposição em frações parciais:
Para achar
-
-
Logo
Passo 4
Hora de ligar isso ao tempo usando a ROC.
- Para o termo
, o polo em tem ROC para ser causal, mas a nossa ROC exige (pois ). Ou seja, esse termo é causal:
- Para o termo, o polo em precisa de pra ser anti-causal (t<0), e de fato a nossa ROC dá . Então é anti-causal:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa é