Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
d) X(s)=s+2s^2+7 s+12,-4

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar a transformada inversa de Laplace de
X(s)=s+2s^2+7s+12, -4
Isso faz parte de Transformada de Laplace bilateral (já que deram uma região de convergência “entre” dois polos).
O que vamos usar:
1) fatorar o denominador pra encontrar os polos;
2) decompor em frações parciais;
3) entender como a Região de Convergência (ROC) “entre” polos indica se cada termo é pra (causal) ou (anti-causal);
4) aplicar as tabelas básicas de inversa ( ou ).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^2+7s+12=(s+3)(s+4),
Assim os polos são e .

Passo 3

Agora a decomposição em frações parciais:
s+2(s+3)(s+4)=As+3+Bs+4
Para achar X(s)=-1s+3+2s+4, e , fazemos:
- .
- .
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Passo 4

Hora de ligar isso ao tempo usando a ROC.
  • Para o termo 2s+4long<=ftrightarrow 2,e^-4t,u(t), o polo em -1s+3long<=ftrightarrow -,l(-e^-3tu(-t)r)= -e^-3t,u(-t), tem ROC para ser causal, mas a nossa ROC exige (pois ). Ou seja, esse termo é causal:
    - Para o termo , o polo em precisa de pra ser anti-causal (t<0), e de fato a nossa ROC dá . Então é anti-causal:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa é
x(t)=2,e^-4t,u(t);-;e^-3t,u(-t)

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