Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
f) X(s)=3 s^2+2 ss(s+1)(s+2) e^-3 s

Passo 1

Beleza, então a questão é: “Dada a transformada unilateral de Laplace
X(s)=3s^2+2ss(s+1)(s+2),e^-3s,
determine x(0^+) e x(infty).”
Estamos vendo teoria de Laplace: principalmente as propriedades de valor inicial, valor final e deslocamento no tempo (time–shift). Para resolver você vai precisar lembrar:
1) Teorema do Valor Inicial: x(0^+)=limstoinftysX(s).
2) Teorema do Valor Final: x(infty)=limsto0sX(s).
3) Propriedade de deslocamento: fator e^-3s implica atraso de 3 unidades em x(t).

Passo 2

Primeiro, o e^-3s significa que a função no domínio do tempo é zero até t=3 e só “liga” depois disso. Em outras palavras, se definirmos
V(s)=3s^2+2ss(s+1)(s+2),
então
x(t)=v(t-3),u(t-3),
onde v(t) é a transformada inversa de V(s) e u(t-3) é o degrau unitário atrasado.
Logo, antes de t=3, x(t)=0. Isso já diz que
x(0^+)=0

Passo 3

Para achar o comportamento em ttoinfty, a gente pode ou usar o teorema do valor final direto em V(s) (já que o atraso não muda o valor final) ou encontrar v(t) mesmo. Vamos fazer parcial fração em V(s):
3s^2+2ss(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2
Resolvendo dá:
- A em s=0: 0=2cdot0+3cdot0implies A=0.
- B em s=-1: 3(-1)^2+2(-1)=1implies Bcdot(-1)(1)=1implies B=-1.
- C em s=-2: 3cdot4+2(-2)=8implies Ccdot(-2)(-1)=8implies C=4.
Então
V(s)=-1s+1+4s+2Longrightarrow v(t)=-e^-t+4e^-2t

Passo 4

Agora, quando ttoinfty, tanto e^-t quanto e^-2t vão a zero, então
v(infty)=0
E como x(t)=v(t-3) para t>=3, também vale
x(infty)=0

Resposta

x(0⁺)=0
x(∞)=0

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