Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
i) X(s)=7 s+1(s+1)(s-1),Re(s+1)>0 capRe(s-1)<0

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace de
X(s)=7s+1(s+1)(s-1)
com região de convergência
Re(s+1)>0capRe(s-1)<0;Longrightarrow;-1
O assunto aqui é “transformada inversa de Laplace bilateral”, então a gente vai usar decomposição em frações parciais e depois lembrar que, dependendo de cada polo e da ROC, o sinal no tempo pode ser causal (u(t)) ou anticausal (u(-t)).

Passo 2

Vamos começar fazendo frações parciais:
7s+1(s+1)(s-1)=As+1+Bs-1
Multiplicando tudo por (s+1)(s-1)
7s+1 = A(s-1)+B(s+1) = (A+B),s +(-A+B)
Igualando coeficientes:
A + B = 7, -,A + B = 1, Longrightarrow A=3,;B=4
Logo
X(s)=3s+1+4s-1

Passo 3

Agora a parte da teoria de inversão:
  1. O termo dfrac3s+1, com polo em s=-1 e ROC Re(s)>-1, corresponde à parte causal L^-1tfrac1s+1=e^-tu(t)
    2) O termo dfrac4s-1, com polo em s=1 e ROC Re(s)<1, é uma parte anticausal. Pela tabela bilateral:
    Le^tu(-t) ;=;integral-infty^0 e^te^-stdt ;=;-,1s-1, Re(s)<1
    Então
    1s-1 = -, Le^tu(-t) Longrightarrow 4s-1 = -4, Le^tu(-t)

Passo 4

É só juntar as duas partes no tempo:
x(t) =3,l(e^-tu(t)r) ;+;l(-4,e^tu(-t)r) =3,e^-tu(t);-;4,e^tu(-t)

Resposta

boxedx(t)=3,e^-t,u(t);-;4,e^t,u(-t), -1

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