Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
c)
c)
Passo 1
Beleza! O problema pede pra gente resolver a equação diferencial
com a entrada
(o degrau unitário) e condições iniciais
Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares de 2º ordem não-homogêneas.
Pra resolver, vamos precisar:
Pra resolver, vamos precisar:
- achar a solução geral da parte homogênea (
); - achar uma solução particular da equação completa (
); - impor as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea:
A gente substitui
, o que dá a equação característica
Isso significa que
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora, a solução particular
da equação não-homogênea
é uma constante, digamos
. Substituindo na equação:
Então
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais em
(igual a
porque não há salto):
-
:
-
. Primeiro calcule a derivada:
Em
:
Resposta
Substituindo
e
, a solução final é