Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
c) ddoty+4 y=8 x, y(0^-)=1, doty(0^-)=2, x(t)=u(t)

Passo 1

Beleza! O problema pede pra gente resolver a equação diferencial
ddot y + 4y = 8,x(t)
com a entrada y(0^-)=1, dot y(0^-)=2 (o degrau unitário) e condições iniciais
Isso é conteúdo de equações diferenciais lineares de 2º ordem não-homogêneas.
Pra resolver, vamos precisar:
  1. achar a solução geral da parte homogênea ( );
  2. achar uma solução particular da equação completa ( );
  3. impor as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea:
ddot yh + 4yh = 0
A gente substitui r^2 +4 =0 Longrightarrow r = pm 2j , o que dá a equação característica
yh(t) = Acos(2t) + Bsin(2t),
Isso significa que
onde e são constantes a determinar.

Passo 3

Agora, a solução particular ddot y + 4y = 8cdot 1 da equação não-homogênea
0 + 4C = 8 Longrightarrow C = 2
é uma constante, digamos yp(t) = 2 . Substituindo na equação:
Então

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + 2

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais em y(0) = Acos0 + Bsin0 +2 = A + 0 +2 =1 Longrightarrow A = 1 - 2 = -1 (igual a dot y(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t) + 0 porque não há salto):
  1. dot y(0) = -2Acdot0 + 2Bcdot1 = 2B = 2 Longrightarrow B = 1 :
  1. . Primeiro calcule a derivada:
Em :

Resposta

Substituindo boxedy(t) = 2 ;-;cos(2t);+;sin(2t), t>=0 e , a solução final é

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