Determine y[n] solução das equações:
e) y[n+2]-52 y[n+1]+y[n]=2^n u[n], y[0]=0, y[1]=1

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar a solução da equação de diferenças
y[n+2] - tfrac52,y[n+1] + y[n] = 2^n,u[n], y[0]=0,;y[1]=1,
Isso é conteúdo de “equações de diferenças lineares” com parte homogênea e parte forçada.
O que vamos precisar:
1) Resolver a parte homogênea (achar raízes da equação característica).
2) Achar uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).
3) Somar as duas e usar as condições iniciais pra fechar os constantes.

Passo 2

Solução homogênea: a gente supõe
yh[n]=r^n
e substitui em
r^n+2-tfrac52,r^n+1+r^n=0;Longrightarrow;r^2-tfrac52,r+1=0,
Essa é a equação característica.
Calculando as raízes:
r=tfrac52pmraizl(tfrac52r)^2-42 =tfrac52pmraiztfrac254-42 =tfrac52pmtfrac322;Longrightarrow;r1=2,;r2=tfrac12
Logo a parte homogênea geral é
yh[n]=A,(2)^n+B!l(tfrac12r)^n,

Passo 3

Agora a parte particular. Como o forçamento é 2^n,u[n] e 2 já é raiz da homogênea (multiplicidade 1), a gente tenta
yp[n]=C,n,2^n,,
onde C é constante a achar.
Substituindo na equação:
y_p[n+2]=C,(n+2),2^{n+2}, y_p[n+1]=C,(n+1),2^{n+1}, y_p[n]=C,n,2^n.
Então
yp[n+2]&-tfrac52,yp[n+1]+yp[n] = C2^nl[4(n+2)-5(n+1)+nr] = C2^nl[4n+8-5n-5+nr] =3C,2^n
Isso tem que dar 2^n, logo 3C,2^n=2^nimplies C=tfrac13.
Portanto
yp[n]=13,n,2^n,

Passo 4

A solução geral é
y[n]=yh[n]+yp[n] =A,2^n+B!l(tfrac12r)^n+13,n,2^n =2^nl(A+ n3r)+B!l(tfrac12r)^n
Agora aplicamos as condições iniciais:
Para n=0:
y[0]=2^0l(A+0r)+B= A+B=0;;(1)
Para n=1:
$$y[1]=2^1\Bigl(A+\tfrac13\Bigr)+B!\bigl(\tfrac12\bigr)
=2A+\tfrac23+\tfrac B2=1;;(2). y[1]=2^1l(A+tfrac13r)+B!l(tfrac12r) =2A+tfrac23+tfrac B2=1;;(2)2A+\tfrac23+\tfrac{-A}2=1;\Longrightarrow;2A-\tfrac A2=1-\tfrac23=\tfrac13
;\Longrightarrow;\tfrac{3A}{2}=\tfrac13;\Longrightarrow;A=\tfrac2{9},;B=-\tfrac2{9}.$$

Resposta

boxedy[n] =29,2^n-29l(tfrac12r)^n+13,n,2^n (n>=0)

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