Determine
solução das equações:
e)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente achar a solução da equação de diferenças
Isso é conteúdo de “equações de diferenças lineares” com parte homogênea e parte forçada.
O que vamos precisar:
1) Resolver a parte homogênea (achar raízes da equação característica).
2) Achar uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).
3) Somar as duas e usar as condições iniciais pra fechar os constantes.
Passo 2
Solução homogênea: a gente supõe
e substitui em
Essa é a equação característica.
Calculando as raízes:
Calculando as raízes:
Logo a parte homogênea geral é
Passo 3
Agora a parte particular. Como o forçamento é
e
já é raiz da homogênea (multiplicidade 1), a gente tenta
onde
Substituindo na equação:
y_p[n+2]=C,(n+2),2^{n+2}, y_p[n+1]=C,(n+1),2^{n+1}, y_p[n]=C,n,2^n.
Então
Isso tem que dar
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais:
Para :
Para
Para
$$y[1]=2^1\Bigl(A+\tfrac13\Bigr)+B!\bigl(\tfrac12\bigr)
=2A+\tfrac23+\tfrac B2=1;;(2).
2A+\tfrac23+\tfrac{-A}2=1;\Longrightarrow;2A-\tfrac A2=1-\tfrac23=\tfrac13
;\Longrightarrow;\tfrac{3A}{2}=\tfrac13;\Longrightarrow;A=\tfrac2{9},;B=-\tfrac2{9}.$$