Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
e) X(s)=3 s^2+2 ss^2+s-1 e^-5 s

Passo 1

Beleza, o enunciado diz:
“Dado
X(s);=;3s^2+2ss^2+s-1,e^-5s,
determine, quando possível, e .”
Conteúdo: transformada unilateral de Laplace, Teorema do Valor Inicial e Teorema do Valor Final, e entendimento do fator de atraso . Vamos precisar:
  • Saber que .
  • Saber que , mas só vale se o sistema for estável (todos os pólos de estiverem no semiplano esquerdo).
  • Entender que desloca em 5 unidades de tempo.

Passo 2

Calculando x(0^+);=;limstoinfty s,X(s) com o Teorema do Valor Inicial
O teorema diz
s,X(s) =;s;3s^2+2ss^2+s-1;e^-5s =;3s^3+2s^2s^2+s-1;e^-5s
Então
limstoinftys,X(s) =;0
Para boxedx(0^+)=0 , o quociente comporta-se como (o grau do numerador é 3 e do denominador é 2), mas o fator cai para zero muito mais rápido que qualquer potência de . Logo
Também faz sentido fisicamente: a função só “liga” em (por causa do atraso), então em ela ainda é zero.
Portanto

Passo 3

Tentando x(infty)=limsto0s,X(s), com o Teorema do Valor Final
Em geral
s^2+s-1=0 Longrightarrow s=-1pmraiz1+42 =-1pmraiz52
desde que todos os pólos de estejam no semiplano esquerdo (estabilidade). Vamos analisar os pólos de (ignora­mos momentaneamente o , que só faz deslocar no tempo):
Um desses valores é . Isso significa que a transformada tem um pólo no semiplano direito, isto é, sistema instável.
Quando há pólo instável, o Teorema do Valor Final não se aplica e, de fato, cresce exponencialmente (algo como para ) e vai a infinito.

Resposta

x(0^+)=0
x(∞) não existe (vai a +∞)

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