Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível,
e
:
e)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz:
“Dado
“Dado
determine, quando possível,
e
.”
Conteúdo: transformada unilateral de Laplace, Teorema do Valor Inicial e Teorema do Valor Final, e entendimento do fator de atraso . Vamos precisar:
Conteúdo: transformada unilateral de Laplace, Teorema do Valor Inicial e Teorema do Valor Final, e entendimento do fator de atraso
- Saber que
. - Saber que
, mas só vale se o sistema for estável (todos os pólos de estiverem no semiplano esquerdo). - Entender que
desloca em 5 unidades de tempo.
Passo 2
Calculando
com o Teorema do Valor Inicial
O teorema diz
O teorema diz
Então
Para
, o quociente
comporta-se como
(o grau do numerador é 3 e do denominador é 2), mas o fator
cai para zero muito mais rápido que qualquer potência de
. Logo
Também faz sentido fisicamente: a função
só “liga” em
(por causa do atraso), então em
ela ainda é zero.
Portanto
Portanto
Passo 3
Tentando
com o Teorema do Valor Final
Em geral
Em geral
desde que todos os pólos de
estejam no semiplano esquerdo (estabilidade). Vamos analisar os pólos de
(ignoramos momentaneamente o
, que só faz deslocar no tempo):
Um desses valores é
. Isso significa que a transformada tem um pólo no semiplano direito, isto é, sistema instável.
Quando há pólo instável, o Teorema do Valor Final não se aplica e, de fato, cresce exponencialmente (algo como
para
) e vai a infinito.
Quando há pólo instável, o Teorema do Valor Final não se aplica e, de fato,
Resposta
x(0^+)=0
x(∞) não existe (vai a +∞)
x(∞) não existe (vai a +∞)