Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
f) X(s)=s^2-s+1(s+1)^2, Re(s)>-1

Passo 1

Beleza, aqui a gente precisa achar a transformada inversa de Laplace de
X(s)=s^2-s+1(s+1)^2, Re(s)>-1
O assunto é “Transformada de Laplace inversa” e, pra isso, vamos usar:
1) Identificar formas conhecidas de transformada (por exemplo, 1/(s+a) vira e^-a t,
1/(s+a)^2 vira t,e^-a t, e 1 vira de).
2) Fazer uma “quebra” (tipo frações parciais) pra reescrever X(s) em partes que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão escrevendo s+1=u, daí s=u-1.
Substituindo no numerador:
s^2 - s + 1 = (u-1)^2 - (u-1) + 1 = u^2 -2u +1 -u +1 + 1 = u^2 -3u +3
Então
X(s)=u^2-3u+3u^2 = u^2u^2 -3uu^2 +31u^2 = 1 - 3u + 3u^2

Passo 3

Volta pra variável original u=s+1:
X(s) = 1 ;-;3s+1;+;3(s+1)^2
Agora cada pedacinho a gente já sabe inverter:
- 1 tem inversa de, porque Lde.
- dfrac1s+1 tem inversa e^-t, afinal Le^-t = 1/(s+1).
- dfrac1(s+1)^2 tem inversa t,e^-t, pois Lt,e^-t=1/(s+1)^2.

Passo 4

Combina tudo com os coeficientes que a gente tem:
  • O termo 1 vira de.
  • O termo -3/(s+1) vira -3,e^-t.
  • O termo 3/(s+1)^2 vira 3,t,e^-t.

Resposta

x(t) = de=0

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