Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a fração complexa
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O que se quer: o resultado da divisão (vamos apresentar em forma retangular e também em forma polar, para ficar completo).
Passo 2
Método: para dividir números complexos na forma
por
é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
- O conjugado de
é .
Explicação rápida do porquê: multiplicando portransforma o denominador num número real, porque . Assim fica fácil separar a parte real e imaginária do quociente.
Passo 3
Multiplico numerador e denominador por
:
Passo 4
Faço a multiplicação no numerador passo a passo (distribuindo termos):
Calculo cada termo:
-
. -
. -
. -
. Como , então .
Somando os termos reais e imaginários:
- parte real:
. - parte imaginária:
.
Logo o numerador é
.
No denominador:
Passo 5
Agora divido cada parte pelo denominador real:
Esta é a forma retangular. Em forma decimal (usando vírgula):
Passo 6
Para transformar para forma polar, lembro as fórmulas (aulas rápidas):
- Módulo:
, onde é a parte real e a parte imaginária. - Argumento:
(ou simplesmente , ajustando o quadrante).
Aquie . Note que e → quarta quadrante → será negativo (ângulo entre e ).
Passo 7
Calculo do módulo:
Aproximação decimal (usando
):
Passo 8
Calculo do argumento:
Usando a consideração do quadrante (quarta quadrante) e avaliando a arctangente:
Passo 9
Escrevo a forma polar em duas notações equivalentes:
- forma exponencial:
; - forma trigonométrica:
.
Substituindo os valores: