Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
\frac{2-j 7}{3-j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fração complexa \dfrac{2-j\,7}{3-j}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2-j\,7.
  • Denominador: 3-j.
    O que se quer: o resultado da divisão (vamos apresentar em forma retangular e também em forma polar, para ficar completo).

Passo 2

Método: para dividir números complexos na forma a+bj por c+dj é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
  • O conjugado de 3-j é 3+j.
    Explicação rápida do porquê: multiplicando por 3+j transforma o denominador num número real, porque (3-j)(3+j)=3^2-(j)^2=9-(-1)=10. Assim fica fácil separar a parte real e imaginária do quociente.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador por 3+j:
\frac{2-j\,7}{3-j}=\frac{(2-j\,7)(3+j)}{(3-j)(3+j)}.

Passo 4

Faço a multiplicação no numerador passo a passo (distribuindo termos):
(2-j\,7)(3+j)=2\cdot3 + 2\cdot j + (-j\,7)\cdot3 + (-j\,7)\cdot j.
Calculo cada termo:
  • 2\cdot3=6.
  • 2\cdot j=2j.
  • (-j\,7)\cdot3=-21j.
  • (-j\,7)\cdot j=-7j^2. Como j^2=-1, então -7j^2=-7(-1)=7.
Somando os termos reais e imaginários:
  • parte real: 6+7=13.
  • parte imaginária: 2j-21j=-19j.
Logo o numerador é 13-19j.
No denominador:
(3-j)(3+j)=3^2-j^2=9-(-1)=10.

Passo 5

Agora divido cada parte pelo denominador real:
\frac{13-19j}{10}=\frac{13}{10}-j\frac{19}{10}.
Esta é a forma retangular. Em forma decimal (usando vírgula):
1{,}3 - j\,1{,}9.

Passo 6

Para transformar para forma polar, lembro as fórmulas (aulas rápidas):
  • Módulo: \;r=\sqrt{x^2+y^2}, onde x é a parte real e y a parte imaginária.
  • Argumento: \;\theta=\operatorname{atan2}(y,x) (ou simplesmente \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big), ajustando o quadrante).
    Aqui x=\dfrac{13}{10} e y=-\dfrac{19}{10}. Note que x>0 e y<0 → quarta quadrante → \theta será negativo (ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e 0).

Passo 7

Calculo do módulo:
r=\sqrt{\left(\dfrac{13}{10}\right)^2+\left(-\dfrac{19}{10}\right)^2} =\dfrac{1}{10}\sqrt{13^2+19^2} =\dfrac{\sqrt{530}}{10}.
Aproximação decimal (usando \sqrt{530}\approx23{,}0217):
r\approx2{,}302.

Passo 8

Calculo do argumento:
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-19/10}{13/10}\right)=\arctan\!\left(-\dfrac{19}{13}\right)=\arctan(-1{,}461538\ldots).
Usando a consideração do quadrante (quarta quadrante) e avaliando a arctangente:
\theta\approx-0{,}971\\ \text{rad}\approx-55{,}63^\circ.

Passo 9

Escrevo a forma polar em duas notações equivalentes:
  • forma exponencial: r\,e^{j\theta};
  • forma trigonométrica: r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).
Substituindo os valores:
\text{polar (exata)}:\quad \dfrac{\sqrt{530}}{10}\,e^{\,j(-0{,}971\ldots)}.
\text{polar (aprox.)}:\quad 2{,}302\,e^{-j\,0{,}971}\quad\text{(rad)}\quad\text{ou}\quad 2{,}302\angle -55{,}63^\circ.

Resposta

\dfrac{13}{10}-j\dfrac{19}{10}
\dfrac{\sqrt{530}}{10}\,e^{\,j(-0{,}971\ldots)} (aprox. 2{,}302\angle -55{,}63^\circ)

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