Questão 13) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular: As distâncias de maior e menor aproximação são respectivamente 1,47 \times 10^{8} \mathrm{~km} e 1,52 \times 10^{8} \mathrm{~km}. Determine as variações em módulo das grandezas (a) Energia total, (b) energia potencial, (c) Energia cinética e (d) velocidade entre estas duas posições.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas distâncias da Terra ao Sol (maior e menor aproximação) e pede as variações em módulo (valores absolutos das diferenças) das seguintes quantidades entre essas duas posições:
  • (a) energia total;
  • (b) energia potencial gravitacional;
  • (c) energia cinética;
  • (d) velocidade.
As informações numéricas fornecidas:
  • distância mínima (periélio): r_{p}=1,47\times10^{8}\\ \mathrm{km},
  • distância máxima (afélio): r_{a}=1,52\times10^{8}\\ \mathrm{km}.
Vou trabalhar em unidades SI. Além disso usarei constantes conhecidas:
  • constante gravitacional: G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},
  • massa do Sol: M=1,989\times10^{30}\\ \mathrm{kg},
  • massa da Terra: m=5,972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Converter as distâncias fornecidas para metros e calcular o semieixo maior a da órbita (necessário para várias fórmulas).
Converter:
r_{p}=1,47\times10^{8}\\ \mathrm{km}=1,47\times10^{11}\\ \mathrm{m},
r_{a}=1,52\times10^{8}\\ \mathrm{km}=1,52\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
O semieixo maior de uma elipse é a média dos apoapsis e periapsis:
a=\frac{r_{p}+r_{a}}{2}=\frac{1,47\times10^{11}+1,52\times10^{11}}{2}=1,495\times10^{11}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Energia mecânica total (constante da órbita) e conclusão sobre sua variação.
Para uma órbita kepleriana (gravitacional) ligada, a energia mecânica total E do sistema Terra+Sol é
E = -\frac{G M m}{2a}.
Essa expressão depende apenas de a, que é fixa para a órbita da Terra. Portanto E é a mesma em periélio e em afélio, logo a variação em módulo entre as duas posições é zero:
\Delta E_{\text{total}}=0.

Passo 4

Energia potencial gravitacional e fórmula usada.
A energia potencial gravitacional de duas massas separadas por r é
U(r)=-\frac{G M m}{r},
onde U é negativa (ligação gravitacional). Vou calcular U em periélio e em afélio. Primeiro computei o produto G M m para facilitar:
G M m = (6,674\times10^{-11})(1,989\times10^{30})(5,972\times10^{24}) \approx 7,9256\times10^{44}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora os potenciais:
U_{p}=-\frac{7,9256\times10^{44}}{1,47\times10^{11}}\approx -5,392\times10^{33}\\ \mathrm{J},
U_{a}=-\frac{7,9256\times10^{44}}{1,52\times10^{11}}\approx -5,213\times10^{33}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Variação em módulo da energia potencial.
A variação em módulo (valor absoluto da diferença) entre periélio e afélio é
\Delta |U| = |U_{p}-U_{a}| \approx |-5,392\times10^{33}-(-5,213\times10^{33})| \approx 1,79\times10^{32}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Energia cinética: fórmula e razão da escolha.
A velocidade orbital em qualquer ponto da órbita obedece à equação de vis-viva:
v^{2}=G M\!\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).
A energia cinética é K=\dfrac{1}{2} m v^{2}. Substituindo a expressão de v^{2} obtemos uma forma direta para K:
K(r)=\frac{1}{2}m\,G M\!\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)=G M m\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2a}\right).
Vou calcular K em periélio e em afélio usando G M m já computado e a obtido antes.

Passo 7

Cálculo numérico das energias cinéticas.
Calculemos os termos recíprocos já usados:
\frac{1}{r_{p}}=\frac{1}{1,47\times10^{11}}\approx 6,8027\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{1}{r_{a}}=\frac{1}{1,52\times10^{11}}\approx 6,5789\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{1}{2a}=\frac{1}{2\cdot1,495\times10^{11}}=\frac{1}{2,99\times10^{11}}\approx 3,3445\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora
K_{p}=7,9256\times10^{44}\!\left(6,8027\times10^{-12}-3,3445\times10^{-12}\right)\approx 2,741\times10^{33}\\ \mathrm{J},
K_{a}=7,9256\times10^{44}\!\left(6,5789\times10^{-12}-3,3445\times10^{-12}\right)\approx 2,563\times10^{33}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Variação em módulo da energia cinética e relação com a energia potencial.
A variação em módulo entre as duas energias cinéticas é
\Delta K = |K_{p}-K_{a}|\approx |2,741\times10^{33}-2,563\times10^{33}|\approx 1,78\times10^{32}\\ \mathrm{J}.
Observação física: como a energia total é constante, a variação de K deve ser igual em módulo à variação de U. Os dois valores calculados concordam numericamente (diferenças pequenas são por arredondamento).

Passo 9

Velocidades (vis‑viva) e variação de velocidade.
Usando a equação de vis‑viva para v:
v_{p}=\sqrt{G M\!\left(\frac{2}{r_{p}}-\frac{1}{a}\right)}, \quad v_{a}=\sqrt{G M\!\left(\frac{2}{r_{a}}-\frac{1}{a}\right)}.
Cálculo numérico com G M=1,3271244\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}s^{-2}}:
v_{p}\approx 3,0295\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}=30,295\\ \mathrm{km/s},
v_{a}\approx 2,9316\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}=29,316\\ \mathrm{km/s}.
A variação em módulo da velocidade entre periélio e afélio é
\Delta v = |v_{p}-v_{a}|\approx 9,79\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 0,979\\ \mathrm{km/s}.

Resposta

(a) 0\\ \mathrm{J}
(b) \,1,79\times10^{32}\\ \mathrm{J}
(c) \,1,79\times10^{32}\\ \mathrm{J}
(d) \,9,79\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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