Questão 13) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular: As distâncias de maior e menor aproximação são respectivamente
e
. Determine as variações em módulo das grandezas (a) Energia total, (b) energia potencial, (c) Energia cinética e (d) velocidade entre estas duas posições.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas distâncias da Terra ao Sol (maior e menor aproximação) e pede as variações em módulo (valores absolutos das diferenças) das seguintes quantidades entre essas duas posições:
- (a) energia total;
- (b) energia potencial gravitacional;
- (c) energia cinética;
- (d) velocidade.
As informações numéricas fornecidas:
- distância mínima (periélio):
, - distância máxima (afélio):
.
Vou trabalhar em unidades SI. Além disso usarei constantes conhecidas:
- constante gravitacional:
, - massa do Sol:
, - massa da Terra:
.
Passo 2
Converter as distâncias fornecidas para metros e calcular o semieixo maior
da órbita (necessário para várias fórmulas).
Converter:
Converter:
O semieixo maior de uma elipse é a média dos apoapsis e periapsis:
Passo 3
Energia mecânica total (constante da órbita) e conclusão sobre sua variação.
Para uma órbita kepleriana (gravitacional) ligada, a energia mecânica total do sistema Terra+Sol é
Para uma órbita kepleriana (gravitacional) ligada, a energia mecânica total
Essa expressão depende apenas de
, que é fixa para a órbita da Terra. Portanto
é a mesma em periélio e em afélio, logo a variação em módulo entre as duas posições é zero:
Passo 4
Energia potencial gravitacional e fórmula usada.
A energia potencial gravitacional de duas massas separadas por é
A energia potencial gravitacional de duas massas separadas por
onde
é negativa (ligação gravitacional). Vou calcular
em periélio e em afélio. Primeiro computei o produto
para facilitar:
Agora os potenciais:
Passo 5
Variação em módulo da energia potencial.
A variação em módulo (valor absoluto da diferença) entre periélio e afélio é
A variação em módulo (valor absoluto da diferença) entre periélio e afélio é
Passo 6
Energia cinética: fórmula e razão da escolha.
A velocidade orbital em qualquer ponto da órbita obedece à equação de vis-viva:
A velocidade orbital em qualquer ponto da órbita obedece à equação de vis-viva:
A energia cinética é
. Substituindo a expressão de
obtemos uma forma direta para
:
Vou calcular
em periélio e em afélio usando
já computado e
obtido antes.
Passo 7
Cálculo numérico das energias cinéticas.
Calculemos os termos recíprocos já usados:
Calculemos os termos recíprocos já usados:
Agora
Passo 8
Variação em módulo da energia cinética e relação com a energia potencial.
A variação em módulo entre as duas energias cinéticas é
A variação em módulo entre as duas energias cinéticas é
Observação física: como a energia total é constante, a variação de
deve ser igual em módulo à variação de
. Os dois valores calculados concordam numericamente (diferenças pequenas são por arredondamento).
Passo 9
Velocidades (vis‑viva) e variação de velocidade.
Usando a equação de vis‑viva para :
Usando a equação de vis‑viva para
Cálculo numérico com
:
A variação em módulo da velocidade entre periélio e afélio é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)