Questão 5) Uma partícula é lançada da superfície da Terra com uma velocidade duas vezes maior do que a velocidade de escape. Quando a partícula estiver a uma distância muito grande da Terra (infinitamente grande), qual será sua velocidade?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara, sem resolver ainda):
- Dado: a partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade inicial
tal que , onde é a velocidade de escape da Terra. - Dado implícito: a distância inicial é a superfície da Terra, ou seja, raio
da Terra, e a massa da Terra é . A constante gravitacional universal é . A massa da partícula é (que pode cancelar depois). - Pedido: quando a partícula estiver a uma distância muito grande da Terra (isto é,
), qual será sua velocidade ?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): conservação da energia mecânica.
- A energia mecânica total de uma partícula sujeita apenas à gravidade é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial gravitacional (PE).
- Energia cinética:
, onde é a massa da partícula e sua velocidade. - Energia potencial gravitacional para duas massas (Terra de massa
e partícula de massa ), a uma distância entre centros, é
onde
é a constante gravitacional. O sinal negativo indica que a energia é menor (mais ligada) quando estão mais próximas.
- Conservação da energia mecânica entre dois instantes (inicial na superfície, final em
) diz:
No infinito,
. Então
Aqui expliquei cada termo e defini todas as variáveis.
Passo 3
Breve derivação da velocidade de escape (porque aparece no enunciado) — para entender o significado de
:
- Por definição, a velocidade de escape
é a velocidade mínima na superfície para que a partícula chegue ao infinito com velocidade final nula ( ). - Aplicando conservação de energia para esse caso:
- Isolando
obtemos
- Observação útil:
depende de , e , e não depende da massa da partícula.
Passo 4
Substituir
na equação de energia inicial e calcular a energia total inicial:
- Primeiro escrevo
em termos de usando :
- Energia cinética inicial:
- Energia potencial inicial (na superfície):
- Energia total inicial:
Mostrei cada passo algébrico; repare que
ficou positivo — significa que a partícula tem energia suficiente para escapar e ainda sobrará energia cinética no infinito.
Passo 5
Calcular a velocidade no infinito usando
:
- Como
, a energia total inicial é igual à energia cinética final:
- Substituindo
,
- Cancela-se
dos dois lados e isola-se :
- Expressão em função de
: fatorando,
- Interpretação rápida (motivacional): lançar com
dá energia extra além da mínima necessária; ao vencer o poço gravitacional parte dessa energia é gasta, e sobra energia equivalente a na região distante.
Passo 6
Resumo curto e numérico (para intuir a escala):
- Se quiser comparar numericamente,
. Então é cerca de , menor que a velocidade inicial porque a partícula gastou energia para escapar do campo gravitacional.