Questão 5) Uma partícula é lançada da superfície da Terra com uma velocidade duas vezes maior do que a velocidade de escape. Quando a partícula estiver a uma distância muito grande da Terra (infinitamente grande), qual será sua velocidade?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara, sem resolver ainda):
  • Dado: a partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade inicial v_i tal que v_i = 2 v_{\text{esc}}, onde v_{\text{esc}} é a velocidade de escape da Terra.
  • Dado implícito: a distância inicial é a superfície da Terra, ou seja, raio R da Terra, e a massa da Terra é M. A constante gravitacional universal é G. A massa da partícula é m (que pode cancelar depois).
  • Pedido: quando a partícula estiver a uma distância muito grande da Terra (isto é, r \to \infty), qual será sua velocidade v_{\infty}?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): conservação da energia mecânica.
  • A energia mecânica total de uma partícula sujeita apenas à gravidade é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial gravitacional (PE).
  • Energia cinética: \displaystyle \text{KE} = \tfrac{1}{2} m v^{2}, onde m é a massa da partícula e v sua velocidade.
  • Energia potencial gravitacional para duas massas (Terra de massa M e partícula de massa m), a uma distância r entre centros, é
\text{PE}(r) = -\dfrac{G M m}{r},
onde G é a constante gravitacional. O sinal negativo indica que a energia é menor (mais ligada) quando estão mais próximas.
  • Conservação da energia mecânica entre dois instantes (inicial na superfície, final em r\to\infty) diz:
\text{KE}_i + \text{PE}_i = \text{KE}_\infty + \text{PE}_\infty.
No infinito, \text{PE}_\infty = 0. Então
\tfrac{1}{2} m v_i^{2} - \dfrac{G M m}{R} = \tfrac{1}{2} m v_{\infty}^{2}.
Aqui expliquei cada termo e defini todas as variáveis.

Passo 3

Breve derivação da velocidade de escape (porque aparece no enunciado) — para entender o significado de v_{\text{esc}}:
  • Por definição, a velocidade de escape v_{\text{esc}} é a velocidade mínima na superfície para que a partícula chegue ao infinito com velocidade final nula ( v_{\infty}=0).
  • Aplicando conservação de energia para esse caso:
\tfrac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2} - \dfrac{G M m}{R} = 0.
  • Isolando v_{\text{esc}} obtemos
v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}.
  • Observação útil: v_{\text{esc}} depende de G, M e R, e não depende da massa m da partícula.

Passo 4

Substituir v_i = 2 v_{\text{esc}} na equação de energia inicial e calcular a energia total inicial:
  • Primeiro escrevo v_i em termos de G,M,R usando v_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{2GM}{R}:
v_i = 2 v_{\text{esc}} \quad\Rightarrow\quad v_i^{2} = 4 v_{\text{esc}}^{2} = 4\cdot \dfrac{2GM}{R} = \dfrac{8GM}{R}.
  • Energia cinética inicial:
\tfrac{1}{2} m v_i^{2} = \tfrac{1}{2} m \cdot \dfrac{8GM}{R} = \dfrac{4 G M m}{R}.
  • Energia potencial inicial (na superfície):
\text{PE}_i = -\dfrac{G M m}{R}.
  • Energia total inicial:
E_i = \tfrac{1}{2} m v_i^{2} + \text{PE}_i = \dfrac{4 G M m}{R} - \dfrac{G M m}{R} = \dfrac{3 G M m}{R}.
Mostrei cada passo algébrico; repare que E_i ficou positivo — significa que a partícula tem energia suficiente para escapar e ainda sobrará energia cinética no infinito.

Passo 5

Calcular a velocidade no infinito usando E_i:
  • Como \text{PE}_\infty = 0, a energia total inicial é igual à energia cinética final:
E_i = \tfrac{1}{2} m v_{\infty}^{2}.
  • Substituindo E_i = \dfrac{3 G M m}{R},
\tfrac{1}{2} m v_{\infty}^{2} = \dfrac{3 G M m}{R}.
  • Cancela-se m dos dois lados e isola-se v_{\infty}:
v_{\infty}^{2} = \dfrac{6 G M}{R}, \qquad v_{\infty} = \sqrt{\dfrac{6 G M}{R}}.
  • Expressão em função de v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}: fatorando,
v_{\infty} = \sqrt{3}\, v_{\text{esc}}.
  • Interpretação rápida (motivacional): lançar com 2 v_{\text{esc}} dá energia extra além da mínima necessária; ao vencer o poço gravitacional parte dessa energia é gasta, e sobra energia equivalente a \tfrac{1}{2}m(\sqrt{3}\,v_{\text{esc}})^{2} na região distante.

Passo 6

Resumo curto e numérico (para intuir a escala):
  • Se quiser comparar numericamente, \sqrt{3}\approx 1{,}732. Então v_{\infty} é cerca de 1{,}732\,v_{\text{esc}}, menor que a velocidade inicial 2\,v_{\text{esc}} porque a partícula gastou energia para escapar do campo gravitacional.

Resposta

\;v_{\infty}=\sqrt{\dfrac{6GM}{R}}=\sqrt{3}\,v_{\text{esc}}

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