Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
8-j 4+\frac{5 \angle 80^{\circ}}{2 \angle 20^{\circ}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
8 - j\,4 + \frac{5 \angle 80^\circ}{2 \angle 20^\circ}.
Informações dadas:
  • Um termo está em forma retangular: 8 - j\,4.
  • Um quociente de dois números complexos está em forma polar: \dfrac{5 \angle 80^\circ}{2 \angle 20^\circ}.
    A tarefa é obter o resultado numérico dessa soma (podendo apresentar em forma retangular e em forma polar).

Passo 2

Conceitos úteis (curtinho e prático):
  • Na forma polar, um número complexo é escrito como r \angle \theta, onde r é a magnitude (módulo) e \theta é o argumento (ângulo, em graus neste enunciado). Isso equivale a r(\cos\theta + j\sin\theta).
  • Para converter polar para retangular:
r \angle \theta \longrightarrow r\cos\theta + j\,r\sin\theta.
  • Para dividir números complexos em forma polar: divide-se as magnitudes e subtraem-se os ângulos:
\frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2).
Vou usar essas regras para simplificar o quociente e depois somar com 8 - j\,4.

Passo 3

Calcular o quociente em forma polar usando a regra acima:
\frac{5 \angle 80^\circ}{2 \angle 20^\circ} = \frac{5}{2}\angle(80^\circ-20^\circ)=2,5\angle60^\circ.
Isso já é simples e exato em forma polar.

Passo 4

Converter 2,5\angle60^\circ para forma retangular (usar as fórmulas de seno e cosseno):
\text{Re}\{2,5\angle60^\circ\}=2,5\cos60^\circ=2,5\cdot 0{,}5=1{,}25,
\text{Im}\{2,5\angle60^\circ\}=2,5\sin60^\circ=2,5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}\approx 2{,}1650625.
Portanto
2,5\angle60^\circ = 1{,}25 + j\,\frac{5\sqrt{3}}{4}\approx 1{,}25 + j\,2{,}1650625.

Passo 5

Somar esse resultado ao termo 8 - j\,4 efetuando parte real com real e parte imaginária com imaginária:
  • Parte real:
8 + 1{,}25 = 9{,}25.
  • Parte imaginária:
-4 + \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}-16}{4}\approx -1{,}834936491.
Logo a forma retangular exata (com frações) e aproximada é
\frac{37}{4} + j\,\frac{5\sqrt{3}-16}{4}\approx 9{,}25 - j\,1{,}834936491.

Passo 6

Agora converter essa forma retangular para forma polar (cálculo do módulo e do argumento):
  • Módulo:
|z|=\sqrt{\left(\frac{37}{4}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt{3}-16}{4}\right)^2} =\sqrt{ \frac{1700-160\sqrt{3}}{16} } \approx 9{,}431085114.
  • Argumento (ângulo em graus). Como a parte real é positiva e a imaginária é negativa, o ângulo será negativo (quarto quadrante):
\theta=\arctan\!\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)=\arctan\!\left(\frac{5\sqrt{3}-16}{37}\right)\approx -11{,}22^\circ.
Portanto em forma polar aproximada:
9{,}4311\angle -11{,}22^\circ.

Resposta

9{,}25 - j\,1{,}834936491
9{,}4311 \angle -11{,}22^\circ

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