Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular produtos envolvendo os números complexos
,
e
. Foi também fornecida a forma polar de
como
.
Vou responder quatro resultados, seguindo a instrução sobre formatos:
- (a) calcular
e apresentar o resultado em forma retangular; - (b) calcular
e apresentar o resultado em forma retangular; - (c) apresentar o produto de (a) na forma polar;
- (d) apresentar o produto de (b) na forma polar.
As informações relevantes dadas:
- Primeiro fator:
- Segundo fator:
- Terceiro fator:
, que foi dado também como (módulo , argumento ).
Passo 2
Revisão rápida das fórmulas que vamos usar (aulas curtas e práticas):
- Produto em forma polar: se temos
e , então
Isto é: multiplica-se os módulos e somam-se os ângulos. Fácil de decorar e muito útil em provas.
- Conversão de polar para retangular: dado
,
ou seja o número retangular é
.
- Multiplicação em forma retangular: se
e , então
Vou usar essas fórmulas e calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular o produto polar dos dois primeiros fatores (isto serve para (c) e também facilita cálculos posteriores).
Usando a regra do produto em polar:
Portanto
Este é o resultado em forma polar do produto dos dois primeiros — guardaremos para usar nos próximos passos.
Passo 4
Converter o resultado do passo anterior para forma retangular (este será o item (a) pedido em forma retangular).
Usamos
e
com
e
:
Consultando valores trigonométricos (ou tabela/calculadora de grau):
e
. Assim
Portanto, em forma retangular:
ou escrevendo no formato habitual
(Isto responde o item (a).)
Passo 5
Agora calculamos o produto completo com o terceiro fator, obtendo o item (b) em forma retangular. Tenho duas opções: multiplicar em polar e depois converter, ou fazer multiplicação retangular usando a forma que já obtivemos em (a). Vou usar a forma retangular de (a) e aplicar a fórmula de multiplicação retangular para demonstrar na prática como fazer sem decorar ângulos demais.
Temos
(aproximado) e
. Aplicando
:
-
, , , .
Calcule as partes:
Assim o produto completo é aproximadamente
Arredondando a três casas decimais:
(Isto responde o item (b).)
Passo 6
Agora vamos fornecer (c) e (d) em forma polar.
(c) já foi parcialmente calculado no passo 3: o produto dos dois primeiros fatores em forma polar é
(Resposta do item (c).)
Passo 7
(d) produto total em forma polar — podemos obter diretamente multiplicando módulos e somando ângulos das três formas polares:
módulo:
ângulo:
Portanto, em forma polar:
(Resposta do item (d).)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)