Determine o resultado das seguintes operações:
Os resultados de (a) e (b) devem ser apresentados na forma retangular e (c) e (d) na forma polar.
\left(2 \angle 30^{\circ}\right)\left(5 \angle-110^{\circ}\right)(1+j 2)=\left(2 \angle 30^{\circ}\right)\left(5 \angle-110^{\circ}\right)\left(2.236 \angle 63.43^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular produtos envolvendo os números complexos \left(2 \angle 30^{\circ}\right), \left(5 \angle -110^{\circ}\right) e 1+j2. Foi também fornecida a forma polar de 1+j2 como \left(2,236 \angle 63,435^{\circ}\right).
Vou responder quatro resultados, seguindo a instrução sobre formatos:
  • (a) calcular \left(2 \angle 30^{\circ}\right)\left(5 \angle -110^{\circ}\right) e apresentar o resultado em forma retangular;
  • (b) calcular \left(2 \angle 30^{\circ}\right)\left(5 \angle -110^{\circ}\right)(1+j2) e apresentar o resultado em forma retangular;
  • (c) apresentar o produto de (a) na forma polar;
  • (d) apresentar o produto de (b) na forma polar.
As informações relevantes dadas:
  • Primeiro fator: \;2 \angle 30^{\circ}.
  • Segundo fator: \;5 \angle -110^{\circ}.
  • Terceiro fator: \;1+j2, que foi dado também como \;2,236 \angle 63,435^{\circ} (módulo =\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\approx2,236, argumento \arctan(2/1)\approx63,435^{\circ}).

Passo 2

Revisão rápida das fórmulas que vamos usar (aulas curtas e práticas):
  • Produto em forma polar: se temos \;r_1\angle\theta_1 e \;r_2\angle\theta_2, então
r_1\angle\theta_1 \times r_2\angle\theta_2 = (r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).
Isto é: multiplica-se os módulos e somam-se os ângulos. Fácil de decorar e muito útil em provas.
  • Conversão de polar para retangular: dado \;r\angle\theta,
\text{parte real } x = r\cos\theta,\qquad \text{parte imaginária } y = r\sin\theta,á
ou seja o número retangular é x + j y.
  • Multiplicação em forma retangular: se z_1 = a + jb e z_2 = c + jd, então
z_1 z_2 = (ac - bd) + j(ad + bc).
Vou usar essas fórmulas e calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto polar dos dois primeiros fatores (isto serve para (c) e também facilita cálculos posteriores).
Usando a regra do produto em polar:
(2 \angle 30^{\circ})(5 \angle -110^{\circ}) = (2\cdot 5)\angle(30^{\circ}+(-110^{\circ})).
Portanto
(2 \angle 30^{\circ})(5 \angle -110^{\circ}) = 10 \angle -80^{\circ}.
Este é o resultado em forma polar do produto dos dois primeiros — guardaremos para usar nos próximos passos.

Passo 4

Converter o resultado do passo anterior para forma retangular (este será o item (a) pedido em forma retangular).
Usamos x = r\cos\theta e y = r\sin\theta com r=10 e \theta=-80^{\circ}:
x = 10\cos(-80^{\circ}) = 10\cos(80^{\circ}), \qquad y = 10\sin(-80^{\circ}) = -10\sin(80^{\circ}).
Consultando valores trigonométricos (ou tabela/calculadora de grau): \cos(80^{\circ})\approx 0,173648 e \sin(80^{\circ})\approx 0,984808. Assim
x \approx 10\cdot 0,173648 = 1,73648, \qquad y \approx -10\cdot 0,984808 = -9,84808.
Portanto, em forma retangular:
(2 \angle 30^{\circ})(5 \angle -110^{\circ}) \approx 1,736 + j(-9,848),
ou escrevendo no formato habitual
\boxed{1,736 - j\,9,848.}
(Isto responde o item (a).)

Passo 5

Agora calculamos o produto completo com o terceiro fator, obtendo o item (b) em forma retangular. Tenho duas opções: multiplicar em polar e depois converter, ou fazer multiplicação retangular usando a forma que já obtivemos em (a). Vou usar a forma retangular de (a) e aplicar a fórmula de multiplicação retangular para demonstrar na prática como fazer sem decorar ângulos demais.
Temos z_1 = 1,73648 - j\,9,84808 (aproximado) e z_2 = 1 + j2. Aplicando (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc):
  • a = 1,73648, b = -9,84808, c = 1, d = 2.
Calcule as partes:
\text{parte real} = ac - bd = (1,73648)(1) - (-9,84808)(2) = 1,73648 + 19,69616 = 21,43264.
\text{parte imaginária} = ad + bc = (1,73648)(2) + (-9,84808)(1) = 3,47296 - 9,84808 = -6,37512.á
Assim o produto completo é aproximadamente
21,43264 - j\,6,37512.
Arredondando a três casas decimais:
\boxed{21,433 - j\,6,375.}
(Isto responde o item (b).)

Passo 6

Agora vamos fornecer (c) e (d) em forma polar.
(c) já foi parcialmente calculado no passo 3: o produto dos dois primeiros fatores em forma polar é
\boxed{10 \angle -80^{\circ}.}
(Resposta do item (c).)

Passo 7

(d) produto total em forma polar — podemos obter diretamente multiplicando módulos e somando ângulos das três formas polares:
(2 \angle 30^{\circ})(5 \angle -110^{\circ})(2,236 \angle 63,435^{\circ})
módulo:
r = 2\cdot 5 \cdot 2,236 = 10\cdot 2,236 = 22,36\\ (\text{aproximadamente }22,361\text{ com 3 decimais});
ângulo:
\theta = 30^{\circ} + (-110^{\circ}) + 63,435^{\circ} = -80^{\circ} + 63,435^{\circ} = -16,565^{\circ}.
Portanto, em forma polar:
\boxed{22,361 \angle -16,565^{\circ}.}
(Resposta do item (d).)

Resposta

(a) 1,736 - j\,9,848
(b) 21,433 - j\,6,375
(c) 10 \angle -80^{\circ}
(d) 22,361 \angle -16,565^{\circ}

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