Determine a reta tangente ao círculo de equação x^{2}+y^{2}=9, no ponto ( \sqrt{5}, 2 ).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao círculo de equação
x^{2}+y^{2}=9
no ponto \bigl(\sqrt{5},2\bigr).
O conteúdo aqui é geometria analítica: usamos o fato de que a derivada y' obtida por diferenciação implícita dá o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente \,x^{2}+y^{2}=9 em relação a x, temos
2x + 2y\,y' = 0.
Logo, o coeficiente angular da tangente é
y' = -\frac{x}{y}.
No ponto \bigl(\sqrt{5},2\bigr),
m = y'\bigl(\sqrt{5},2\bigr) = -\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 3

Usamos a forma ponto-declive da reta:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) = \bigl(\sqrt{5},2\bigr) e m = -\frac{\sqrt{5}}{2}.
Substituindo,
y - 2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(x - \sqrt{5}\bigr).

Passo 4

Expandindo e arrumando em forma geral:
y - 2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\,x + \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{5} \;\Longrightarrow\; y - 2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\,x + \frac{5}{2}
\Longrightarrow\; y = -\frac{\sqrt{5}}{2}\,x + \frac{5}{2} + 2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}\,x + \frac{9}{2}.
Multiplicando por 2:
2y = -\sqrt{5}\,x + 9 \;\Longrightarrow\; \sqrt{5}\,x + 2y -9 = 0.

Resposta

A equação da reta tangente é
\sqrt{5}\,x + 2y - 9 = 0.

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