Seja y=f(x) uma função definida e derivável em um intervalo I e tal que, para todo x \in I, \frac{d y}{d x}=x+\cos x. Calcule \frac{d^{2} y}{d x^{2}}.

Passo 1

O enunciado nos diz que y=f(x) é derivável em I e que
\frac{d y}{d x} = x + \cos x.
Precisamos encontrar a segunda derivada \dfrac{d^2y}{dx^2}. Para isso, basta derivar novamente a expressão de \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Usamos a linearidade da derivada:
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(x\Bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr).
Sabemos que \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.

Passo 3

Substituindo, obtemos
\frac{d^2y}{dx^2} = 1 + \bigl(-\sin x\bigr) = 1 - \sin x.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2} = 1 - \sin x.

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