Determine a reta tangente à curva gamma, no ponto P0 indicado.
(a) gamma: | 3 x^2 + y^2 + z = 4 ; -x^2 + y^2 + z^2 = 12 ; P0(1,2,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva gamma no ponto . A curva gamma é definida pela interseção de duas superfícies:
Isso envolve geometria analítica e cálculo vetorial. Vamos precisar calcular gradientes e usar produto vetorial para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a curva gamma é onde as duas superfícies se encontram. Para achar a reta tangente nessa curva no ponto P0, a gente precisa encontrar um vetor direção que seja tangente à curva naquele ponto.

Passo 3

A forma de encontrar esse vetor direção é calculando os gradientes das duas superfícies no ponto P0. O gradiente de uma função em um ponto dá a direção de máxima inclinação, ou seja, é perpendicular à superfície naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente da primeira equação:
O gradiente é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da segunda equação:
O gradiente é:
Substituindo :

Passo 6

A reta tangente à curva gamma no ponto P0 deve ser perpendicular aos dois gradientes calculados. Para achar um vetor que seja perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial:
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Resposta

A reta tangente à curva gamma no ponto é dada por:
onde t é o parâmetro real.

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