Seja f: R -> R uma função derivável, com f'(t) > 0, para todo t. Se g(x, y) = f(x^2 + y^2), mostre que a derivada direcional D_v g(x, y) será máxima quando v = x i + y j.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável e sua derivada é sempre positiva. A função que estamos trabalhando é . A questão pede para mostrar que a derivada direcional de na direção do vetor é máxima quando .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como a direção do vetor afeta o valor dessa derivada. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . A função depende de e através de , então usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, queremos maximizar a derivada direcional , que é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário . Sabemos que o produto escalar é máximo quando os dois vetores estão na mesma direção. Ou seja, a derivada direcional será máxima quando for paralelo ao gradiente .

Passo 5

Observando o gradiente que calculamos:
Vemos que ele é proporcional ao vetor . Portanto, para que esteja na mesma direção que , deve ser na direção de .
Como , para ser um vetor unitário nessa direção, basta normalizarmos :

Passo 6

Portanto, a derivada direcional será máxima quando estiver na direção de , ou seja, quando .

Resposta

A derivada direcional é máxima quando .

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