Seja
uma função derivável, com
. Se
, mostre que a derivada direcional
será máxima quando
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
que é derivável e sua derivada
é sempre positiva. A função que estamos trabalhando é
. A questão pede para mostrar que a derivada direcional de
na direção do vetor
é máxima quando
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como a direção do vetor afeta o valor dessa derivada. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. A função
depende de
e
através de
, então usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, queremos maximizar a derivada direcional
, que é o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
. Sabemos que o produto escalar é máximo quando os dois vetores estão na mesma direção. Ou seja, a derivada direcional será máxima quando
for paralelo ao gradiente
.
Passo 5
Observando o gradiente que calculamos:
Vemos que ele é proporcional ao vetor
. Portanto, para que
esteja na mesma direção que
,
deve ser na direção de
.
Como
, para
ser um vetor unitário nessa direção, basta normalizarmos
:
Passo 6
Portanto, a derivada direcional
será máxima quando
estiver na direção de
, ou seja, quando
.
Resposta
A derivada direcional
é máxima quando
.