Calcule a derivada direcional no ponto
da função
, na direção da reta que passa nos pontos
e
.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
. A direção que a gente vai usar é a da reta que passa pelos pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como vetor diretor, gradiente e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que passa por
e
. O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de
e
:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor diretor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional depende da direção, não do tamanho do vetor. O comprimento do vetor
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor unitário
:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da reta que passa por
e
é
.