Calcule a derivada direcional no ponto P0(1,2,3) da função w = 2x^2 - y^2 + z^2, na direção da reta que passa nos pontos A(1,2,1) e B(3, 5, 0).

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto . A direção que a gente vai usar é a da reta que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como vetor diretor, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que passa por e . O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor diretor para que ele tenha comprimento 1. Isso é importante porque a derivada direcional depende da direção, não do tamanho do vetor. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 6

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário :
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da reta que passa por e é .

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