Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscisca x_{0} indicado.
y=x^{\operatorname{sen} x}, \quad x_{0}=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = x^{\sin x} e pede a reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x_{0} = \pi/2. Para isso, vamos precisar calcular a derivada y' por diferenciação logarítmica e, em seguida, usar a fórmula da reta tangente em ponto dado.

Passo 2

Começamos fazendo diferenciação logarítmica. Seja y = x^{\sin x}. Então
\ln y = \sin x \,\ln x.
Derivando em relação a x, temos
\frac{y'}{y} = \cos x \,\ln x \;+\;\frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = y\Bigl(\cos x \,\ln x + \frac{\sin x}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em x_{0}=\pi/2. O valor da função é
y_{0} = \Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{\sin(\pi/2)} = \frac{\pi}{2}.
O coeficiente angular da tangente é
y'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\pi}{2}\Bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{2}\,\ln\!\tfrac{\pi}{2} + \frac{\sin\!\tfrac{\pi}{2}}{\pi/2}\Bigr) = \frac{\pi}{2}\Bigl(0 + \frac{1}{\pi/2}\Bigr) = 1.

Passo 4

Usando a fórmula da reta tangente em (x_{0},y_{0}),
y - y_{0} = y'\bigl(x_{0}\bigr)\,(x - x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad y - \frac{\pi}{2} = 1\cdot\Bigl(x - \frac{\pi}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Resposta

A reta tangente à curva em x_{0}=\pi/2 é y = x.

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