Determine a reta tangente no ponto indicado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede-se a reta tangente à curva nesse ponto. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função tem três parcelas: uma com raiz/quociente, uma logarítmica e uma constante.
- O ponto onde queremos a tangente é
com . - Precisamos do coeficiente angular da reta tangente, que é
, e então montar a equação da reta com a forma ponto-declive.
Passo 2
Interpretar a expressão da raiz e identificar o domínio próximo de
.
A expressão
para reais corresponde a
desde que a potência esteja definida em reais; portanto exige-se
, isto é
. Além disso, o logaritmo
exige
, isto é
. A interseção dessas condições perto do ponto pedido dá domínio válido
. Assim, em torno de
podemos reescrever
Isso justifica trabalhar com poderes fracionários e as regras usuais de derivação.
Passo 3
Derivar a parcela
. Vamos decompor e usar regras conhecidas.
Primeiro, defina
. Pelo regra da potência e da cadeia, a derivada de
é
Aqui a regra da potência diz que se
então
; aplicou-se com
.
Agora defina
. Para derivar
usamos a regra do quociente: se
então
No nosso caso
e
com
. Aplicando:
Passo 4
Substituir
e
na expressão de
para obter a forma explícita da derivada da primeira parcela:
Se quiser, fatora-se
no numerador:
Podemos simplificar o que está entre parênteses:
Logo
Passo 5
Derivar as outras parcelas e montar
.
A derivada de
usa a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
, portanto
A derivada da constante
é
.
Somando as derivadas:
Passo 6
Avaliar
em
para obter o coeficiente angular da tangente.
Primeiro observe que
em
é
. Portanto a primeira parcela
vale
A segunda parcela em
é
Portanto
Logo o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Passo 7
Encontrar a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive.
A forma ponto-declive é
com
e
. Substituindo:
Expandindo: