Determine a reta tangente no ponto indicado:
y=\frac{\sqrt{(x-1)^{3}}}{x+1}+\ln (2 x-1)+1, P=(1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\sqrt{(x-1)^{3}}}{x+1}+\ln(2x-1)+1
e o ponto P=(1,1). Pede-se a reta tangente à curva nesse ponto. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função tem três parcelas: uma com raiz/quociente, uma logarítmica e uma constante.
  • O ponto onde queremos a tangente é x=1 com y=1.
  • Precisamos do coeficiente angular da reta tangente, que é y'(1), e então montar a equação da reta com a forma ponto-declive.

Passo 2

Interpretar a expressão da raiz e identificar o domínio próximo de x=1.
A expressão \sqrt{(x-1)^{3}} para reais corresponde a (x-1)^{3/2} desde que a potência esteja definida em reais; portanto exige-se x-1\ge0, isto é x\ge1. Além disso, o logaritmo \ln(2x-1) exige 2x-1>0, isto é x>\tfrac{1}{2}. A interseção dessas condições perto do ponto pedido dá domínio válido x\ge1. Assim, em torno de x=1 podemos reescrever
\sqrt{(x-1)^{3}}=(x-1)^{3/2}.
Isso justifica trabalhar com poderes fracionários e as regras usuais de derivação.

Passo 3

Derivar a parcela \dfrac{(x-1)^{3/2}}{x+1}. Vamos decompor e usar regras conhecidas.
Primeiro, defina u(x)=(x-1)^{3/2}. Pelo regra da potência e da cadeia, a derivada de u é
u'(x)=\frac{3}{2}(x-1)^{1/2}.
Aqui a regra da potência diz que se u(x)=(x-1)^{p} então u'(x)=p(x-1)^{p-1}; aplicou-se com p=\tfrac{3}{2}.
Agora defina v(x)=\dfrac{u(x)}{x+1}. Para derivar v usamos a regra do quociente: se v=\dfrac{a}{b} então
v'=\frac{a'\,b - a\,b'}{b^{2}}.
No nosso caso a=u(x) e b=x+1 com b'(x)=1. Aplicando:
v'(x)=\frac{u'(x)\,(x+1)-u(x)\cdot 1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Substituir u e u' na expressão de v' para obter a forma explícita da derivada da primeira parcela:
v'(x)=\frac{\dfrac{3}{2}(x-1)^{1/2}\,(x+1)-(x-1)^{3/2}}{(x+1)^{2}}.
Se quiser, fatora-se (x-1)^{1/2} no numerador:
v'(x)=\frac{(x-1)^{1/2}\!\left(\dfrac{3}{2}(x+1)-(x-1)\right)}{(x+1)^{2}}.
Podemos simplificar o que está entre parênteses:
\dfrac{3}{2}(x+1)-(x-1)=\dfrac{3x+3-2x+2}{2}=\dfrac{x+5}{2}.
Logo
v'(x)=\frac{(x-1)^{1/2}\,\dfrac{x+5}{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+5)(x-1)^{1/2}}{2(x+1)^{2}}.

Passo 5

Derivar as outras parcelas e montar y'(x).
A derivada de \ln(2x-1) usa a regra da cadeia: se w(x)=\ln(g(x)) então w'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}. Aqui g(x)=2x-1 e g'(x)=2, portanto
\frac{d}{dx}\ln(2x-1)=\frac{2}{2x-1}.
A derivada da constante 1 é 0.
Somando as derivadas:
y'(x)=v'(x)+\frac{2}{2x-1}=\frac{(x+5)(x-1)^{1/2}}{2(x+1)^{2}}+\frac{2}{2x-1}.

Passo 6

Avaliar y'(x) em x=1 para obter o coeficiente angular da tangente.
Primeiro observe que (x-1)^{1/2} em x=1 é 0. Portanto a primeira parcela v'(1) vale
v'(1)=\frac{(1+5)(1-1)^{1/2}}{2(1+1)^{2}}=\frac{6\cdot 0}{2\cdot 4}=0.
A segunda parcela em x=1 é
\frac{2}{2\cdot 1-1}=\frac{2}{1}=2.
Portanto
y'(1)=0+2=2.
Logo o coeficiente angular da reta tangente em P é m=2.

Passo 7

Encontrar a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive.
A forma ponto-declive é
y-y_0=m(x-x_0),
com P=(x_0,y_0)=(1,1) e m=2. Substituindo:
y-1=2(x-1).
Expandindo:
y-1=2x-2\quad\Rightarrow\quad y=2x-1.

Resposta

y=2x-1

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