No final de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 2,5 \% ao mês triplicará de valor no regime de capitalização composta?

Passo 1

O enunciado pede para saber em quanto tempo um capital aplicado a uma taxa de 2{,}5\% ao mês, no regime de capitalização composta, triplicará de valor.
Informações dadas:
  • Taxa de juros mensal: i=2{,}5\% por mês.
  • Deseja-se que o montante seja 3 vezes o capital inicial (triplicar).
  • Não foi dado tempo; é isso que precisamos encontrar.
O que se pede:
  • Calcular o tempo (em meses, e depois converter para anos/meses/dias) necessário para que o capital triplique.

Passo 2

Fórmula básica da capitalização composta (definição e significado das variáveis).
Em regime de capitalização composta, o montante A depois de n períodos é dado por
A = P(1+i)^{n},
onde:
  • P é o capital inicial (principal),
  • i é a taxa de juros por período (aqui por mês), expressa em forma decimal,
  • n é o número de períodos (aqui número de meses),
  • A é o montante final após n períodos.
Explicação curta: a cada período o capital é multiplicado por (1+i); depois de n períodos multiplica-se n vezes, resultando em (1+i)^n.

Passo 3

Aplicar a condição “triplicar” na fórmula e isolar n.
Queremos A=3P. Substituindo na fórmula:
3P = P(1+i)^{n}.
Cancelando P (assumindo P\neq0):
3 = (1+i)^{n}.
Agora substituir i. A taxa 2{,}5\% em decimal é i=0{,}025. Logo:
3 = (1{,}025)^{n}.
Para resolver para n usamos logaritmos (fórmula e propriedade usada):
a propriedade essencial é \log(a^{b}) = b\log(a). Assim, aplicando log em ambos os lados (qualquer base serve; uso ln — logaritmo natural):
\ln 3 = \ln\bigl((1{,}025)^{n}\bigr) = n\ln(1{,}025).
Isolando n:
n = \frac{\ln 3}{\ln(1{,}025)}.
Breve aula sobre logaritmos usada acima:
  • \ln x é o logaritmo natural de x; é apenas uma função que permite “descer” expoentes.
  • A propriedade \ln(a^{b})=b\ln a é a que nos permite transformar a potência em multiplicação, facilitando isolar n.

Passo 4

Cálculo numérico de n (aproximação).
Vamos estimar os logaritmos numéricos. Valores conhecidos/aproximados:
\ln 3 \approx 1{,}098612289, \qquad \ln(1{,}025)\approx 0{,}024692709.
Substituindo:
n \approx \frac{1{,}098612289}{0{,}024692709}\approx 44{,}49.
Interpretação do resultado: n\approx 44{,}49 meses. Ou seja, pouco menos de 44{,}5 meses.

Passo 5

Converter o tempo em anos, meses e dias para ficar mais intuitivo.
  • 44{,}49 meses = 44 meses + 0{,}49 de mês.
  • 0{,}49 de mês ≈ 0{,}49\times 30 \approx 14{,}7 dias ≈ 15 dias (aproximação prática).
  • 44 meses = 3 anos e 8 meses (pois 3\times 12=36, sobrando 8 meses).
Logo o tempo aproximado é 3 anos, 8 meses e 15 dias.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check)
Usando o n encontrado:
(1{,}025)^{44{,}49} \approx e^{\ln(1{,}025)\cdot 44{,}49}\approx e^{1{,}0986}\approx 3,
o que confirma que o montante é aproximadamente três vezes o capital inicial.

Resposta

\approx 44{,}49\\ \text{meses}
\text{(aprox. }3\\ \text{anos, }8\\ \text{meses e }15\\ \text{dias)}

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