No final de quanto tempo um capital aplicado à taxa de
ao mês triplicará de valor no regime de capitalização composta?
Passo 1
O enunciado pede para saber em quanto tempo um capital aplicado a uma taxa de
ao mês, no regime de capitalização composta, triplicará de valor.
Informações dadas:
- Taxa de juros mensal:
por mês. - Deseja-se que o montante seja 3 vezes o capital inicial (triplicar).
- Não foi dado tempo; é isso que precisamos encontrar.
O que se pede:
- Calcular o tempo (em meses, e depois converter para anos/meses/dias) necessário para que o capital triplique.
Passo 2
Fórmula básica da capitalização composta (definição e significado das variáveis).
Em regime de capitalização composta, o montante
depois de
períodos é dado por
onde:
-
é o capital inicial (principal), -
é a taxa de juros por período (aqui por mês), expressa em forma decimal, -
é o número de períodos (aqui número de meses), -
é o montante final após períodos.
Explicação curta: a cada período o capital é multiplicado por
; depois de
períodos multiplica-se
vezes, resultando em
.
Passo 3
Aplicar a condição “triplicar” na fórmula e isolar
.
Queremos
. Substituindo na fórmula:
Cancelando
(assumindo
):
Agora substituir
. A taxa
em decimal é
. Logo:
Para resolver para
usamos logaritmos (fórmula e propriedade usada):
a propriedade essencial é . Assim, aplicando log em ambos os lados (qualquer base serve; uso ln — logaritmo natural):
a propriedade essencial é
Isolando
:
Breve aula sobre logaritmos usada acima:
-
é o logaritmo natural de ; é apenas uma função que permite “descer” expoentes. - A propriedade
é a que nos permite transformar a potência em multiplicação, facilitando isolar .
Passo 4
Cálculo numérico de
(aproximação).
Vamos estimar os logaritmos numéricos. Valores conhecidos/aproximados:
Substituindo:
Interpretação do resultado:
meses. Ou seja, pouco menos de
meses.
Passo 5
Converter o tempo em anos, meses e dias para ficar mais intuitivo.
-
meses = meses + de mês. -
de mês ≈ dias ≈ dias (aproximação prática). -
meses = anos e meses (pois , sobrando meses).
Logo o tempo aproximado é
anos,
meses e
dias.
Passo 6
Verificação rápida (sanity check)
Usando o encontrado:
Usando o
o que confirma que o montante é aproximadamente três vezes o capital inicial.